4.4 Проблема фигур равновесия вращающейся жидкости

Изложим кратко проблему фигур равновесия вращающейся жидкости, в разработку которой основной клад внес А. М. Ляпунов.

Ньютон показал, что однородная жидкость при малой угловой скорости принимает форму сжатого эллипсоида вращения. Это происходит под влиянием центробежных сил взаимного притяжения своих частиц. Вопрос о форме, принимаемой жидкой массой, равномерно вращающейся вокруг неподвижной оси, приобрел весьма важное значение при исследовании проблем космогонии. При этом все частицы данной жидкой массы взаимно притягиваются по закону Ньютона.

В XVIII—XIX веках при решении этой проблемы исходили из гипотезы о том, что на некоторой стадии развития небесные тела были жидкими. А. Клеро показал, что если скорость вращения жидкой массы очень мала, то за поверхности уровня с достаточной степенью точности могут быть приняты поверхности эллипсоидов вращения. Но этот результат справедлив лишь в первом приближении, а теория Клеро не позволяла найти более высокие приближения. Затем А. Лежандр и П. Лаплас предложили методы, которые позволяли находить последовательные приближения.

В 1829 году Пуассон отметил, что результаты Лежандра и Лапласа также оставляют желать много лучшего, поскольку не был исследован вопрос, будут ли сходящимися ряды, к которым приводят их методы. Создавшаяся ситуация и побудила Ляпунова продолжить исследования. Ляпунов в отличие от Лежандра, Лапласа и Пуассона не пользовался разложением в ряд, а рассмотрел уравнения задачи (из которых первое является уравнением Клеро) при весьма общих предположениях о законе распределения плотности вращающейся жидкой массы.

Ляпунов поставил вопрос в общей форме и, основываясь на положении Лагранжа о минимуме потенциала, дал строгое решение задачи.

В магистерской диссертации “Об устойчивости эллипсоидальных форм равновесия вращающейся жидкости” (в 1884 году) Ляпунов впервые дал точное определение понятия устойчивости вращающейся жидкости. Он доказал, что признак устойчивости системы, обладающей конечным числом степеней свободы, не может быть перенесен на случай движения жидкости, имеющей бесконечное число степеней свободы. Далее Ляпунов установил достаточный критерий устойчивости фигур равновесия и показал, что эллипсоид вращения является устойчивой фигурой равновесия, если его эксцентриситет не превышает некоторой, определенной Ляпуновым величины.

В 1901 году Ляпунов, преодолев огромные математические трудности и разработав ряд новых аналитических методов, выполнил строгое исследование вопроса о существовании новых фигур равновесия жидкости, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси, если частицы жидкости взаимно притягиваются по закону Ньютона.

“Даже с внешней стороны серия мемуаров и отдельно изданных книг [Ляпунова] по вопросу о фигурах равновесия вращающейся жидкости поражает своей грандиозностью”,— отмечал Стеклов.

Основной результат исследования Ляпунова таков: при наложении определенных требований на плотность жидкости для всех значений угловой скорости вращения, не превосходящих некоторого определенного предела, существует фигура равновесия вращающейся массы неоднородной жидкости, находящейся в поле своего собственного тяготения.

Работы Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости вызвали длительную дискуссию Ляпунова с английским ученым Дж. Дарвином (1845—1912 годы).

Дж. Дарвин исследовал вопрос об устойчивости форм равновесия вращающейся жидкости, которым А. Пуанкаре (1854—1912 годы) дал название грушевидных (для случая вязкой жидкости). По формулам Пуанкаре, которыми пользовался английский ученый, устойчивость или неустойчивость зависит от знака некоторой величины А.

Пользуясь методом приближенных вычислений, Дарвин после весьма сложных расчетов нашел А < 0, откуда следовало, что эти формы устойчивы. На этом Дж. Дарвин построил свою космогоническую гипотезу развития двойных звезд.

Однако грушевидные фигуры равновесия получаются как частный случай из бесчисленного множества других фигур равновесия, строго выведенных Ляпуновым, причем для А получается точное выражение в виде алгебраической функции двух аргументов. Это позволило Ляпунову в результате довольно сложных вычислений, проверенных несколькими способами, показать, что А > О, т. е. грушевидные формы неустойчивы. Иными словами, воспользовавшись без достаточной математической осторожности приближенными формулами, Дж. Дарвин получил ошибочный результат.

Об этом разногласии Ляпунов писал в работе “Об одной задаче Чебышева” (1905 год) и в серии мемуаров “О фигурах равновесия вращающейся и однородной жидкой массы, мало отличных от эллипсоидов”, печатавшейся в “Записках Академии наук” в 1906—1914 годах. В третьей части этой работы, вышедшей в 1912 году, он подробно изложил выводы своих точных формул и все вычисления.

В 1911году Пуанкаре утверждал, что “грушевидная форма, может быть, устойчива, но нет уверенности, что это действительно так”. Дж. Дарвин считал эту фигуру устойчивой; Ляпунов же пришел к противоположному результату. Чтобы окончательно доказать правильность своей точки зрения, Ляпунов опубликовал ряд фундаментальных работ, в которых дал безукоризненное математическое доказательство своего утверждения. Таким образом, возникшая между А. М. Ляпуновым и Дж. Дарвином полемика, закончилась полной победой русского ученого. Впрочем, на Западе отдельные ученые продолжали сомневаться, на чьей стороне истина. Только в 1917 году, после опубликования работы Дж. Джинса (1877—1946 годы), зарубежные ученые окончательно признали полную правоту Ляпунова. Джинс обнаружил ошибку в вычислениях Дж. Дарвина, приведшую к неверному выводу об устойчивости грушевидных фигур.

Труды Ляпунова по фигурам равновесия вращающейся жидкости до сих пор остаются непревзойденными. Все работы отечественных и зарубежных ученых, выполненные после смерти Ляпунова, в той или иной степени основаны на его идеях и методах.