4.7 Методы гидравлики и их применение в науке и технике

Как уже было указано, историческое развитие знаний о законах равновесия и движения жидкостей шло как путем экспериментальных исследований тех или иных гидравлических явлений, так и путем математического анализа непрерывной деформации сплошной жидкой среды.

Вполне понятно, что современная наука о закономерностях, свойственных жидкостям, может плодотворно развиваться только на основе тесной взаимосвязи эксперимента и теоретических обобщений.

В связи со сложностью исследуемых явлений в гидравлике применяются различные технические методы и приемы исследования и решения задач. Этими методами являются.

1. Метод бесконечно малых величин. Этот метод, положенный в основу классической гидромеханики, базируется на понятии о жидкости, как о некоторой непрерывной сплошной среде (континууме), допускающей неограниченную делимость ее материальных частичек вплоть до размеров математической точки.

Подобная абстракция дает при решении многих основных задач гидравлики возможность применения законов теоретической механики как точки, так и системы материальных точек и получения дифференциальных уравнений молярного движения жидкости, пользуясь введенными Эйлером понятиями о давлении и скорости в точке пространства, занятого жидкостью, не принимая во внимание молекулярного движения.

Решение таким образом полученных дифференциальных уравнений, если оно возможно, дает картину молярного движения жидкости в любой момент времени в любой точке пространства, занятого жидкостью.

Этот метод широко применяется в различных исследуемых вопросах. Но, к сожалению, общего решения системы дифференциальных уравнений гидродинамики пока еще не имеется:

Ленин в “Философских тетрадях” по этому поводу писал: „Мы не можем представить, выразить, смерить, изобразить движения, не прервав непрерывного, не упростив, угрубив, не разделив, не омертвив живого. Изображение движения мыслью есть всегда огрубление, омертвление, — и не только мыслью, но и ощущением, и не только движения, но и всякого понятия”.

Чтобы облегчить во многих случаях интегрирование составленных дифференциальных уравнений, приходится прибегать кроме указанных к некоторым другим абстрактным допущениям, огрублениям, отступая в первом приближении от некоторых физических свойств реальной жидкости и вводя понятие об „идеальной” жидкости.

Под „идеальной" жидкостью подразумевают такую воображаемую жидкость, которой присущи: а) абсолютная несжимаемость, б) абсолютное несопротивление разрыву и в) абсолютная текучесть или полное отсутствие вязкости.

Как известно, реальные жидкости в той или иной степени отличаются своими физическими свойствами от упомянутой модели „идеальной" жидкости.

Поэтому ясно, что все выводы и положения, которые устанавливаются для „идеальной" жидкости, могут применяться в конкретных условиях реальной действительности без исправлений только в том случае, если влияние сделанных допущений в отношении свойств жидкости на изучаемое явление несущественно.

2. Метод конечных объемов (средних величин). Часто в гидравлике не требуется знать точную картину состояния движения каждой частицы жидкости, как это иногда может быть достигнуто предыдущим методом. Достаточно бывает ограничиться знанием средних по некоторому объему или поверхности значений той или иной величины. Например, для вычисления такой важной величины как расход Q, т. е. количества жидкости, протекающей через сечение трубопровода в единицу времени [Q] = L³/T, вводится понятие средней по сечению скорости где ω — площадь живого сечения. Метод определения средних значений или метод конечных объемов заключается в том, что от уравнений, определяющих значение некоторой величины в той или иной точке жидкости или пространстве, переходят к уравнениям, распространенным на конечный объем, выделенный в жидкости. Получающиеся при этом интегралы вычисляются применением теорем о среднем значении интегралов и соотношений между объемными и поверхностными интегралами.

Так получаются такие основные уравнения гидравлики, как уравнение неразрывности струи, уравнение Бернулли для потока, теорема количества движения.

3. Метод аналогий. „Единство природы обнаруживается в „поразительной аналогичности" дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений. Теми же самыми уравнениями можно решать вопросы гидродинамики и выражать теорию потенциалов. Теория вихрей в жидкостях и теория трения газов (Gasreibung) обнаруживают поразительную аналогию с теорией электромагнетизма и т. д. Η. Ε. Жуковский указывал как в своих лекциях, так и в различных работах на эти аналогии дифференциальных уравнений и, таким образом, подготовил почву для широкого использования этого метода. В 1922 году Η. Η. Павловским был предложен, а затем разработан им и его школой метод электрогидродинамических аналогий (метод ЭГДА), получивший к настоящему времени широкое распространение в России и за границей.

Самим проф. Н. Е. Жуковским дан был в 1922 году метод газогидравлических и газогидродинамических аналогий, получивший дальнейшую разработку в трудах отечественных и зарубежных ученых.

Необходимо, однако, иметь в виду, что метод аналогий основан только на идентичности дифференциальных уравнений и ни в коем случае не на какой-либо физической идентичности величин, занимающих одинаковое положение в соответствующих уравнениях. Он предназначен лишь для того, чтобы дать возможность перенести разработанные методы анализа из одной области в области, еще не исследованные. Метод математической аналогии позволяет на электромодели находить решение дифференциальных уравнений, описывающих процесс, например, в гидротехнической области, где опыт произвести труднее.

4. Метод анализа размерностей. Этот метод сыграл также важную роль в создании современной гидравлики и зачатки его встречаются, повидимому, впервые в гидравлических и гидродинамических работах Рей-нольдса. Однако начало общей теории дано учениками проф. Η. Ε. Жуковского. Суть метода заключается в том, что дифференциальные уравнения математической физики и вообще уравнения, выражающие какой-либо физический закон, должны удовлетворять условиям однородности.

Однородными называются уравнения, отдельные члены которых являются однородными, с одинаковой степенью однородности, функциями. Однородной функцией V относительно независимых переменных x_t, x₂,x₃,...,x_k называется такая функция

V = f(x₁, x₂, x_3,…,x_k),

которая от умножения всех независимых переменных на одно и то же произвольное число a получает множитель, равный постоянной степени этого числа, т. е.

f(ax₁, ax₂, ax₃,…,ax_k) = a^mf(x₁, x₂, x₃,…,x_k).

В данном случае это сводится к тому, что при всех условиях функциональная зависимость

N = f(n₁, n₂, n₃,…,n_k) (4.1)

должна быть независимой от выбора системы единиц измерения, так как эта зависимость выражает физический закон.

В общем случае в функциональную зависимость (4.1), включая и величину N, входит (k+1) величин. Некоторые из (k+1) величин будут переменными, а остальные постоянными. Численное значение величин N и n_i (i= 1,2,3,...,k) будет зависеть от выбора системы единиц измерения. В выборе основных единиц измерения может быть допущено отступление от общепринятых единиц, необходимо только, чтобы основные единицы были по своим размерностям независимыми друг от друга, и их число должно позволять выразить через них размерности всех других величин, входящих в рассматриваемую функциональную зависимость.

При гидравлических расчетах оказывается целесообразным за основные (а значит и независимые) величины измерения принять три: а) скорость и какой-либо частицы потока или среднюю скорость всего потока V в каком-либо сечении; б) характерную линейную величину, например диаметр трубопровода d, длину l, или величину где ω — площадь поперечного сечения трубопровода и т. п.; в) плотность ρ выбранной частицы жидкости.

Эти величины V, l и ρ имеют в технической системе мер размерности: [V]=м/с; [l]=м и [ρ]=кГ·с²/м⁴ и удовлетворяют требованиям независимости, так как размерность любой из них нельзя получить из комбинации размерностей двух других величин. В то же время число их позволяет выразить через их размерности размерность любой другой величины, входящей в функциональные зависимости, исследуемые в большинстве случаев в гидравлике.

При подобном выборе трех основных единиц измерения размерности всех остальных (k+1 – 3) величин N и n_i (i=4, 5, 6,…, k) в функциональной зависимости (4.1) могут быть выражены в виде произведения некоторых степеней размерности выбранных основных единиц, а именно:

[N]=[V]^x [l]^y [ρ]^z; [n_i]=[V]^x_i [l]^y_i [ρ]^z_i.

Численное значение величин N и n_ι может быть найдено, как произведение отвлеченного числа Π или π_i на произведение некоторых степеней основных величин, а именно:

N=П·V^x l ^y ρ^z; n_i=π_i·V^x_i l ^y_i ρ^z_i.

Значение отвлеченных чисел П и π можно вычислить по формулам

Так как величины V, l и ρ, которые можно принять в функциональной зависимости (4.1) за величины п₁, n₂, n₃, приняты за основные, то отвлеченные величины П и π_ί можно рассматривать как N и n_t в относительных единицах по отношению к n₁ = V;n.₂= l и n₃ =ρ и написать:

или

П = f (1,1,1, π₄, π_5,…, π_k) (4.2)

Следовательно, можно сказать что функциональную зависимость между (k+1) размерными величинами N и n_i(i=1,2,3,…, k) можно представить как отношение между (k +1 – 3) безразмерными комплексами П и π_i.

Уравнение (4.2) и есть знаменитая „пи-теорема", применение которой к исследованию различных гидравлических закономерностей часто оказывается чрезвычайно полезным.

Применение теории размерностей в гидравлике помогло освободиться от многих эмпирических формул, накопившихся за прошлые столетия. В настоящее время трудно встретить какое-либо исследование по гидравлике, гидродинамике и аэродинамике, в котором в той или иной мере не использовался бы этот метод.

Необходимо, однако, иметь в виду, что этот метод чего-либо принципиально нового в сущность гидравлических процессов дать не может, он помогает лишь анализу этой сущности, предполагая, ее уже данной в нашем опыте.

5. Статистический метод. Перечисленные ранее аналитические методы в гидравлике и гидродинамике покоятся на представлении о жидкости и газах как непрерывной, сплошной среде и на существовании функциональной зависимости между величинами. Статистический метод основан на представлении о жидкости и газах как дискретных средах, состоящих или из отдельных частиц, или из отдельных группировок, или, наконец, отдельных жидких индивидуумов, вихревых „сгустков", „молей" и т. д. Функциональная зависимость между непрерывными величинами здесь заменяется стохастической или корреляционной зависимостью между случайными величинами. Применение этого метода обусловливается невозможностью проследить в общем случае движение каждой частицы, для чего нужно было бы начать с нахождения начальных условий, т. е. начальных координат и скоростей всех частиц. Даже если бы это было возможно, то человеческой жизни не хватило бы только для того, чтобы записать результат на бумаге, так как нужно было бы рассмотреть огромное количество частиц. Если бы мы затем попытались применить известные методы механики для подсчета конечных положений частиц, трудности были бы непреодолимы.

Статистический метод не требует какого-либо точного знания начальных условий и для него безразлична судьба индивидуальных частиц жидкости. То, что следует здесь определить, это—средние значения, типичные для всей совокупности, и вероятность их проявления. Применяя этот метод, нельзя предсказать поведение отдельного индивидуума совокупности, можно только предсказать вероятность, что он будет вести себя некоторым определенным образом, и поэтому статистические законы можно применять только к большим совокупностям, но не к отдельным индивидуумам, образующим эти совокупности.

В основе статистического метода лежит теория вероятностей, в развитии которой основная роль принадлежит русским и советским ученым: знаменитым русским математикам П. Л. Чебышеву, А. М. Ляпунову, А. А. Маркову, советским академикам С. Н. Бернштейну, А. Н. Колмогорову, члену-корреспонденту АН СССР А. Я. Хинчину с их учениками и другим.

Статистический метод нашел себе широкое применение в гидравлике и гидродинамике, в частности в известных работах члена-корреспондента АН СССР М. А. Великанова и его учеников. Сам академик А, Н. Колмогоров с его школой является создателем современной, так называемой, .спектральной" теории турбулентности.

Оказалось, далее, что существующие полуэмпирические теории турбулентности иностранных авторов (теории Кармана, Прандтля, Дж. Тейлора и др.) могут быть теоретически строго обоснованы и выведены, как частные случаи из теории стохастически-связных рядов, общие уравнения которой даны академиком А. Н. Колмогоровым.

6. Экспериментальный метод. Перечисленные методы, являясь аналитическими, не являются исчерпывающими в гидравлике, как науке, развивающейся диалектически и, следовательно, покоящейся на совокупности доказательств и опытов соответственно ее историческому развитию. „Всякий раз, когда имеешь дело с водой, прежде всего, обратись к опыту, а потом уже рассуждай" (Леонардо да Винчи). Наблюдения над физической сущностью явлений, происходящих в естественных условиях (в натуре), должны привести к установлению того или иного закона или аналитической зависимости. Если мы, сумеем эти явления воспроизвести, скажем, в лабораторной обстановке, то это позволит выделить влияние того или иного фактора.

Для этого нужно создать обстановку, подобную натуре, с тем, чтобы воспроизвести само явление на основе законов подобия и законов моделирования. Поэтому в основе экспериментального метода лежат, прежде всего, общие законы механического подобия и установленные на их основании правила моделирования того или иного процесса. Полученные в результате экспериментального исследования материалы при правильной их обработке на основе метода анализа размерностей и теории подобия приводят к аналитическим зависимостям с определенными опытными коэффициентами, годными для переноса в натуру. На основе данных опыта и совокупности их с теорией, отражающей физическую сущность явления, и возникают те или иные современные законы гидравлики. Методы подобия широко применял академик А. Н. Крылов при испытании моделей военных кораблей в опытном бассейне и Η. Ε. Жуковский в своих замечательных исследованиях моделей самолетов в аэродинамических трубах.

Теория гидродинамического подобия и моделирования получила наиболее полное свое развитие в трудах отечественных ученых (академик М. В. Кирпичев, А. А. Гухман и др.).

Такие грандиозные стройки, как Днепрогэс, канал имени Москвы Волго-Донской судоходный канал, Большой Ставропольский канал и другие, требовали самых совершенных гидравлических экспериментальных исследований, с высокой экспериментальной техникой и тончайшей измерительной и регистрирующей аппаратурой, поднявших отечественную экспериментальную технику в этой области на небывалую высоту.

Есть предположения, что вода, пропущенная через магнитное поле, повышает эффективность орошения полей.

В последние годы многие сложные задачи гидравлики успешно решаются с помощью вычислительной техники на аналоговых, дискретных, а также гибридных машинах. Это позволяет расширить область применения аналитической механики жидкости.

В нашей стране организованы крупные гидравлические лаборатории при высших учебных заведениях, научно-исследовательских институтах и больших строительствах. Эти лаборатории дали материал, который позволил научным работникам и инженерам значительно развит гидравлику.

5 ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ