1. По заданной математической модели изменения состояния объекта в фазовом пространстве (3) построить график функции , где

,

2. По заданной математической модели изменения состояния объекта в гильбертовом пространстве (4), (5), (6) построить график функции , где , вычисляются по формулам (8), (9).

Для этого:

1. Формируем матрицы (см.формулу (4))

Например, - матрица , определяет состояние объекта на первый момент времени. Количество столбцов соответствует трем координатам X,Y,H, количество строк равно количеству марок.

2. Вычисляем по формулам (8), (9) значения матрицы

В результате вычислений получаем матрицу, где количество столбцов соответствует трем координатам X,Y,H, а количество строк равно количеству моментов времени.

3. По полученной матрице строим график функции в трехмерной системе координат.

Пример графика

Лабораторная работа №5 (литература: [1])

Тема: Оценка математической модели пространственно-временного состояния объекта.

При моделировании вертикальных движений сооружений по результатам измерений происходит потеря точности из-за приближённости математического описания реального континуального процесса движений дискретной моделью, ошибок измерений и ошибок округления при представлении чисел в ЭВМ.

Ошибки округления обычно оценивают, выполняя вычисления на ЭВМ по одному и тому же алгоритму с простой и двойной точностью. Когда ошибки исходных экспериментальных данных значительно превосходят ошибки округления при представлении чисел в ЭВМ, влияние последних на результаты моделирования пренебрегаемы и могут не учитываться. Приближённость математического описания реальных континуальных вертикальных движений по результатам повторных циклов наблюдений можно оценить, только изменив частоту повторных циклов, что экономически нецелесообразно и зачастую просто невозможно. Поэтому рассмотрим влияние на результаты моделирования только ошибок экспериментальных данных.

Обычно предполагают, что ошибки исходных данных распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . При этих предположениях для оценки точности можно применить метод Монте-Карло и, выполнив достаточное число опытов, оценить точность моделирования вертикальных движений сооружения. Более простой, но менее надёжный путь оценки точности состоит в применении известных методов теории ошибок. Основной недостаток в этом случае состоит в необходимости линеаризации оцениваемых функций. Чтобы избежать принятия гипотез о функции распределения ошибок и необходимости линеаризации оцениваемых функций, используем метод имитационного моделирования для оценки точности результатов моделирования, полагая, что нам известна предельная абсолютная погрешность определения исходных данных, связанная со средней квадратической погрешностью выражением .

Для этого положим, что

, (1)

где – вектор ошибок исходных данных;

– вектор ошибок результатов моделирования.

Следовательно,

, (2)

и для выполнения оценки точности результатов моделирования достаточно вычислить вектор (2). Координаты вектора зададим равным предельной погрешности исходных данных.

Задача оценки точности результатов моделирования сводится к определению предельных значений фазовых координат и . Полагая предельную погрешность исходных данных равной , можно определить векторы и значений левой и правой границ интервалов в пределах, в которых должны находиться значения исходных данных

,

. ⁽³⁾

Имея значения исходных данных, можно вычислить соответствующие значения фазовых координат и и графически или аналитически определить неустойчивые состояния объекта, где реальные значения фазовых координат превосходят предельно допустимые.

Пример

По данным, полученным из натурных геодезических измерений, рассмотрим изменение пространственного состояния объекта. Всего было выполнено 6 циклов наблюдений. Результаты моделирования приведены в таблице 1.

Таблица 1 – Результаты моделирования изменения пространственного состояния объекта

Номер цикла	Временной интервал	Нормированная фазовая координата	Нормированная фазовая координата
0	0	0	0
1	0.29	0,39305	0,57108
2	1.02	0,67493	0,98480
3	1.26	0,73558	1,01524
4	2.09	0,07532	1,02286
5	2.24	1	1

Для построения графика фазовой траектории по оси абсцисс будем откладывать нормированные значения , а по оси ординат – нормированные значения .

Анализ графика фазовой траектории даёт качественное представление об изменении состояния сооружения как целого. Этот график показывает, в каких циклах преобладает поступательное или вращательное движение сооружения или наоборот, отсутствие движения объекта, т. е. его устойчивость. Фазовая траектория (рисунок 3) свидетельствует о равномерности движений объекта в период с 0-го по 2-й циклы. Прямая, соединяющая три фазовые точки (0-1-2), расположенная практически под углом 45 градусов относительно осей координат, означает синхронность поступательного и вращательного движений. Фазовые точки 2, 3, 4 расположены рядом друг с другом, что может свидетельствовать об устойчивом состоянии объекта на данный период времени. Для подтверждения этого вывода необходимо выполнить оценку точности результатов моделирования.

– Нормированная фазовая координата

– Нормированная фазовая координата

Рисунок 3 – Фазовая траектория на плоскости

Условно полагая предельную абсолютную погрешность определения исходных данных  = 0,005 м, вычислим значения – вектора ошибок результатов моделирования.

Для определения предельных значений фазовых координат и , определим векторы значений левой и правой границ интервалов, в пределах которых должны находиться значения исходных данных

м,

м. ⁽⁶⁵⁾

Имея значения исходных данных, можно определить соответствующие значения фазовых координат и (таблица 2).

Таблица 2 – Предельные значения фазовых координат и

Номер цикла	Временной интервал (мес)	Фазовая координата μ
		µa	μa-μ	μ	μ-μb	μb
0	0	0	0	0	0	0
1	0,29	0,39303	-0,00002	0,39305	-0,00003	0,39308
2	1,02	0,67491	-0,00002	0,67493	-0,00002	0,67495
3	1,26	0,73557	-0,00001	0,73558	-0,00002	0,73560
4	2,09	0,75321	-0,00002	0,75323	-0,00002	0,75325
5	2,24	1	0	1	0	1
Номер цикла	Временной интервал (мес)	Фазовая координата α
		αa	αa-α	α	α-αb	αb
0	0	0	0	0	0	0
1	0	0,54651	-0,02457	0,57108	-0,05303	0,62411
2	0,29	0,97674	-0,00806	0,98480	-0,00811	0,99291
3	1,02	1,00581	-0,00943	1,01524	-0,00604	1,02128
4	1,26	1,01744	-0,00542	1,02286	-0,00551	1,02837
5	2,09	1	0	1	0	1

Полученные результаты свидетельствуют о том, что изменение фазовых координат нельзя объяснить возможными ошибками. Следовательно, циклы № 2, 3, 4 – это разные состояния системы. Однако в этот период изменение фазовых координат наблюдалось с малым отклонением, т. е. состояние системы можно считать устойчивым.

Таким образом, можно сделать вывод об устойчивости и неустойчивости состояния объекта.

Задание.

Самостоятельно определить предельные состояния объекта в гильбертовом пространстве. За принять СКО=0.040 для Х(м) и У(м), СКО=0.005 для Н(м).