Лабораторная работа №3 (литература: [5],[10],[7])

Тема: Определение пространственно-геометрических характеристик объекта. Построение математической модели пространственно-временного состояния объекта.

Изучение движений и деформаций техногенных объектов является одной из важнейших задач прикладной геодезии. Контролируемыми параметрами (диагностическими признаками) объектов, для которых используются геодезические методы и средства измерений, являются геометрические величины, характеризующие общие перемещения, положение структурных частей объекта в пространстве и между собой, деформации элементов. К ним относятся осадки, горизон­тальные смещения, отклонения от вертикали, прогибы и т.д.

Таким образом, движение любого объекта, наблюдаемого геодезическими методами, складывается из поступательного, вращательного движения и деформационных характеристик.

Определим множество геометрических параметров, характеризующих эти виды движения на примере системы геодезических точек, закрепленных на участке земной поверхности S (рисунок 1).

Рисунок 1.

По результатам повторных геодезических измерений регистрируются изменения координат геодезических точек:

(1)

где – номер геодезической контрольной точки.

Множество точек можно представить в виде совокупности треугольных элементов с вершинами в этих точках (принцип построения триангуляционной сети). Координатами вершин являются координаты контрольных точек (1). Каждый треугольный элемент условно будем считать плоским, а его стороны обозначим векторами, имеющими общее начало.

Плоскость, образованная векторами и (рисунок 1) определяется уравнением

(2)

Свободный член есть расстояние от начала координат до плоскости. Разности длин проекций на оси x,y,z

(3)

где (4)

Параметры определяют поступательное движение треугольного элемента относительно системы x,y,z.

Вращательное движение плоскости треугольника характеризуется сочетанием трех составляющих:

- угла поворота радиус-вектора относительно вертикальной оси OZ ;

- угла поворота вектора нормали плоского треугольного элемента;

- угла поворота вектора относительно вектора нормали .

Для выявления деформационных характеристик необходимо учесть такие параметры, которые являлись бы инвариантными относительно системы координат. Например, длину вектора , угол , площадь треугольника .

Все перечисленные параметры являются геометрическими свойствами объекта и характеризуют его состояние (геометрическое положение) в пространстве.

Так как движение тела относительно некоторой системы отсчета XYZ представляет собой совокупность поступательного, вращательного движения и деформации, то изменение состояния объекта во времени и пространстве определится функциями:

(5)

(6)

(7)

Нормируя значения аргументов функций (5),(6) и (7) получим пространство состояний (фазовое пространство), где являются явными функциями координат и времени и представляют собой фазовые траектории, характеризующие изменение состояния объекта (рисунок 2).

Рисунок 2.

Анализ этих функций дает ответ на вопросы не только о характере и динамике изменения пространственно-временного состояния объекта, но и позволяет выполнить оценку риска в техногенных геодинамических системах по результатам моделирования эволюции их пространственно-временного состояния.

Задание: