Б) Трение качения

Физическую природу трения качения можно объяснить следующим образом: реальные материалы поверхности и катка испытывают деформацию, поэтому при качении катка по поверхности необходимо как бы «гнать волну деформации» перед катком. Другое объяснение может выглядеть так: при качении катка за счет деформации поверхности нам все время приходится как бы «выкатывать» каток из небольшого углубления.

В любом случае это связано с тем, что при качении катка возникает некомпенсированный момент распределенных сил в области контакта катка и поверхности. Этот момент сил «препятствует» качению и явление, связанное с этими процессами называется трением качения.

Законы Кулона для трения качения

1. Наибольший момент пары сил, препятствующей качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.

2. Предельное значение момента M_max пропорционально нормальному давлению:

M_max = N , где  - коэффициент трения качения, имеющий размерность [м]

3. Коэффициент  зависит от материала катка, поверхности и их физического состояния и не зависит (в первом приближении) от угловой скорости качения . Пример: для пары сталь-сталь =0,5 мм.

Законы трения качения являются приближенными и, как и законы трения скольжения, справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформирующихся материалов катка и поверхности.

Разделив момент сопротивления качению на радиус катка можно формально ввести силу трения качения и считать ее приложенной к центру катка, направление противоположно направлению движения.

, (r - радиус катка)

Обычно /r << f и для начала качения требуется значительно меньшая сила, чем для скольжения.

Центр масс.

Центром масс механической системы называется точка G(x_m,y_m,z_m) с координатими:

где суммирование производится по всем точкам системы.

Разбивая слагаемые в вышеприведенных формулах на части и проводя выделение и перегруппировку можно показать, что центр масс системы есть центр масс для центров масс ее частей.

Для сплошных тел суммы переходят в интегралы:

Во всех формулах размерность массы сокращается. Таким образом, можно использовать в качестве массы любую пропорциональную ей величину: объем – для однородных объемных тел, площадь – для однородных плоских фигур, длину – для однородных линейных конструкций.

Методы определения центров масс.

а) метод разбиения на части

Некоторые тела сложной формы можно разбить на части, положение центра масс которых известно или может быть предварительно определено. Тогда используем общие формулы, только вместо элементарных частиц тела берутся конечные части, на которые оно разбито.

б) метод отрицательных масс

В тех случаях, когда фигуру, положение центра масс которой мы хотим определить, можно дополнить до фигуры, положение центра масс которой хорошо известно, можно использовать метод «отрицательных» масс. В примере прямоугольник с вырезом представляется в виде разности большого (1) и малого (2) прямоугольников. Используем прежние формулы с условием, что масса вырезаемой части считается отрицательной. Этот метод особенно удобен при вычислении положения центров масс тел, имеющих отверстия. Для тел сложной формы можно использовать комбинацию методов а) и б).

Для некоторых простых фигур и тел приведем результаты без вывода (часто они понятны даже с точки зрения здравого смысла).

1. Центр масс однородного прямолинейного отрезка лежит в середине отрезка.

2. Центр масс треугольника лежит в точке пересечения медиан. Медианы в точке пересечения делят друг друга в отношении 2:1 (CG=2 GD)

В тех случаях, когда форма фигуры или тела, положение центра масс которых необходимо определить, являются достаточно сложными, можно применить метод прямого интегрирования. При этом используем интегральные определения, приведенные в начале параграфа.

Рассмотрим дугу окружности радиуса R с углом раствора 2₀.

В ыделим бесконечно малый элемент дуги dl с углом раствора d и текущим углом . Длина этого элемента равна dl = Rd, его координата x=RCos.. Определим положение центра масс дуги по оси x:

Этот результат при ₀=/2 дает нам формулу для полуокружности, полученную ранее.

Рассмотрим круговой сектор радиуса R с углом раствора 2₀. Расположим его симметрично оси x, как показано на рисунке. Выделим бесконечно малый сектор с углом раствора d и текущим углом . В пределе бесконечно малых он представляет собой треугольник высотой R и основанием dl=Rd. Площадь этого треугольника равна dS = (1/2)R²d. Центр масс треугольника лежит в точке пересечения медиан. Таким образом, в проекции на ось x координата положения центра масс треугольника имеет значение x = (2/3)RCos. Используя определение положения центра масс по оси x, будем иметь:

Лекция 5 (кинематика)

«Кинематика точки, скорость и ускорение точки в различных системах координат»