- •Кафедра прикладной механики
- •Часть 1. Статика.
- •Типовые виды связей.
- •Момент силы относительно точки и оси
- •Приведение системы сил к простейшей системе
- •Условия равновесия систем сил Пространственная система сил
- •Пространственная система параллельных сил
- •Плоская система сил
- •После отбрасывания тождеств
- •Теорема о моменте равнодействующей силы (теорема Вариньона)
- •Статически определимые и неопределимые задачи
- •Равновесие системы тел
- •А) Трение скольжения
- •Законы Кулона для сухого трения скольжения
- •Б) Трение качения
- •Законы Кулона для трения качения
- •Методы определения центров масс.
- •Часть II Кинематика
- •Скорость и ускорение точки в естественной системе координат
- •Скорость и ускорение точки в полярных координатах
- •Скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах
- •Движение: абсолютное, относительное, переносное. Теорема Эйлера. Угловая скорость.
- •Сложное движение точки.
- •Степени свободы. Теорема о проекциях
- •Поступательное движение твердого тела
- •Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •Скорости и ускорения точек тела при вращении
- •Для точки касания дисков 1,2 нрормальные напряжения равны
- •Плоское движение твердого тела
- •Разложение плоского движения твердого тела на поступательное и вращательное
- •Скорость точек тела при плоском движении. Мгновенный центр скоростей.
- •Способы нахождения мгновенного центра скоростей.
- •Вычисление угловой скорости при плоском движении.
- •Ускорения точек при плоском движении. Мгновенный центр ускорений.
- •Способы нахождения мгновенного центра ускорений.
- •Часть III Динамика Классификация сил. Динамика материальной точки.
- •Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки.
- •Основные виды прямолинейного движения точки. Криволинейное движение.
- •Свободные колебания системы с одной степенью свободы без трения.
- •Свободные колебания системы с одной степенью свободы при наличии трения
- •Вынужденные колебания Системы с одной степенью свободы при отсутствии трения
- •Механическая система. Силы внешние и внутренние Механической системой называется любая совокупность материальных точек.
- •Внутренними силами материальной системы называют силы взаимодействия между точками рассматриваемой системы, мы их будем обозначать . Простейшие свойства внутренних сил системы
- •Дифференциальные уравнения движения системы
- •Геометрические характеристики системы материальных точек. Моменты инерции. Теорема Штейнера. Эллипсоид инерции.
- •Теорема Штейнера
- •Эллипсоид инерции
- •Общие теоремы динамики системы Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс Количество движения точки и системы
- •Элементарный и полный импульс силы
- •Теорема об изменении количества движения точки
- •Теорема об изменении количества движения системы
- •В проекциях на оси координат
- •Законы сохранения количества движения
- •Теорема о движении центра масс
- •Теорема об изменении кинетического момента Кинетический момент точки и системы
- •Теорема об изменении кинетического момента точки
- •Теорема об изменении кинетического момента системы точек
- •Движение точки под действием центральной силы. Законы Кеплера. Секторная скорость, теорема площадей
- •Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
- •Теорема об изменении кинетической энергии
- •Теорема об изменении кинетической энергии точки
- •Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек
- •Потенциальное силовое поле и потенциальная энергия
- •Закон сохранения механической энергии
- •Принцип д'Аламбера для материальной точки
- •Принцип д'Аламбера для механической системы
- •Главный вектор сил инерции механической системы
- •Главный вектор сил инерции твердого тела
- •Главный момент сил инерции механической системы
- •Главный момент сил инерции твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •Связи и их классификация
- •Основные понятия аналитической механики
- •Принцип возможных перемещений
- •Общее уравнение динамики
- •Уравнения лагранжа 2-го рода
- •Обобщенные силы
- •Литература
Часть III Динамика Классификация сил. Динамика материальной точки.
Силу оценивают по движению, которое она вызывает или стремится вызвать в рассматриваемой системе координат, которую мы условились считать неподвижной (инерциальной).
а) Потенциальные силы – силы, которые могут быть выражены через некоторую скалярную функцию от положения точки, называемой потенциальной энергией.
Работа на конечном перещении точки из положения в положение равна определенному интегралу
,
т.е. не зависит от формы траектории, является только функцией начального и конечного положения.
б) Гироскопические силы - линейно зависят от скорости точки и всегда направлены перпендикулярно этой скорости, работа гироскопических сил, очевидно, всегда равна нулю (примеры – сила инерции Кориолиса, магнитная часть силы Лоренца).
в) Диссипативные силы - направлены всегда противоположно скорости тела относительно среды, вызывающей торможение.
,
где k – положительная скалярная функция, которая может зависеть от положения и скорости тела. Всегда A(Fd) < 0 – работа диссипативных сил (сил сопротивления) всегда отрицательна.
Вся динамика построена на предположении о том, что в природе существуют инерциальные системы отсчета (ИСО) (неподвижные или движущиеся равномерно и прямолинейно).
Законы Ньютона
1. Каждое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действующие на тело силы не заставят его изменить движение (причиной изменения движения является сила).
2. Ускорение пропорционально приложеной силе и направлено по прямой, по которой действует сила: (количественная мера действия силы)
3. Силы взаимодействия двух материальных точек равны по величине и противоположны по направлению (сила всегда имеет материальный источник, который испытывает обратное действие объекта, к которому приложена сила)
Динамика является наукой об ускоряющих силах и о тех движениях, которые эти ускоряющие силы могут вызвать.
2-й закон Ньютона
Сила может быть функцией . Эти три дифференциальных уравнения 2го порядка имеют общее решение, зависящее от шести произвольных постоянных, определяемых из начальных условий.
Аксиома о суперпозиции сил.
При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно ИСО от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других приложенных к точке сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.
Между силами нет взаимного влияния друг на друга в создании ускорения точки:
;
;
;
Все это справедливо для небольших скоростей.
Размерностью силы является в системе СИ ньютон ([F]=н). Сила в 1н равна силе, сообщающей телу массой 1 кг ускорение, равное 1 м/с2.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки. Две основные задачи динамики точки.
- равнодействующая,
Декартова система координат:
Естественная система координат:
Второе уравнение можно преобразовать:
Получаем для естественной системы координат:
Первая (прямая) задача динамики точки: зная массу точки и ее закон движения, можно
найти действующую на точку силу.
Зная проекции силы на координатные оси, легко определить модуль силы и косинусы углов силы с осями координат.
Пример: x=aCoskt; y=bSinkt, точка массы m.
- эллипс с полуосями a, b
Fx= -mk2aCoskt; Fy= -mk2bSinkt или Fx= -mk2x; Fy= -mk2y
(r-радиус-вектор точки)
Косинусы углов силы F с осями координат:
Отсюда можно заключить, что сила F имеет направление, противоположное вектору r.
Окончательно
Вторая (обратная) задача динамики точки: по заданой массе и действующей на точку
силе необходимо определить движение (закон движения) точки,
|
В некоторых случаях силы могут зависеть и от ускорений. |
Для нахождения уравнений движения точки в декартовых координатах необходимо проинтегрировать систему трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Решение системы содержит шесть произвольных постоянных С1,C2,C3,C4,C5,C6.
Каждая из координат x,y,z движущейся точки после интегрирования системы зависит от времени и всех шести постоянных
x=f1(t, С1,C2,C3,C4,C5,C6); y=f2(t, С1,C2,C3,C4,C5,C6); z=f3(t, С1,C2,C3,C4,C5,C6)
Если продифференцировать решения, то для скоростей будем иметь:
Таким образом, действующая сила однозначно определяет только ускорение точки и задает целый класс движений, траектории которых и скорости зависят от начального положения и скорости.
Для определения конкретного вида движения необходимо задать начальные условия:
в некоторый момент времени t0 (t=0).
Используя эти условия получаем шесть уравнений для определения произвольных постоянных:
Начальные условия определяют единственное решение системы дифференциальных уравнений.
При движении точки в плоскости Oxy имеется два дифференциальных уравнения движения. В решения этих уравнений входят четыре произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий:
Для прямолинейного движения имеется только одно уравнение и в его решение входят две произвольные постоянные, определяемые из начальных условий:
Задача интегрирования системы дифференциальных уравнений в общем случае является довольно трудной. Даже для одномерного случая решение удается выразить точно в квадратурах лишь при определенной зависимости силы от t, x и v.