Степени свободы. Теорема о проекциях

Числом степеней свободы твердого тела называют число независимых параметров, определяющих положение тела относительно рассматриваемой системы координат.

Свободная точка имеет три степени свободы, свободное твердое тело в общем случае имеет шесть степеней свободы. Твердое тело (его положение) может быть задано тремя точками, не лежащими на одной прямой. Расстояния между точками в твердом теле должны оставаться неизменными при любых его движениях. Это накладывает на координаты фиксированных точек три условия. Получаем (3n-k=s)=(9-3=6) шесть степеней свободы.

Теорема. При любом движении твердого тела проекции скоростей двух его точек на прямую, соединяющую эти точки, равны.

Возведем обе части в скалярный квадрат: Продифференцируем по времени:

Раскладывая скалярные произведения векторов и сокращая на l, имеем: v_ACos=v_BCos

Поступательное движение твердого тела

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной самой себе в каждый момент времени.

Очевидно, достаточно, чтобы это выполнялось только для двух непараллельных прямых, связанных с телом.

Траектории точек у поступательно движущегося твердого тела могут быть не только прямыми, но и любыми кривыми, в том числе окружностями.

Теорема. При поступательном движении твердого тела траектории, скорости и ускорения всех точек тела одинаковы. Вектор АВ является всегда постоянным по модулю, а при поступательном движении не изменяется и по направлению. При сдвиге на АВ траектории точек совпадут.

Движение твердого тела, для которого векторы скоростей точек равны только в один момент времени, а не все время, называется мгновенным поступательным движением.

Для мгновенного поступательного движения ускорения точек в общем случае не являются одинаковыми.

Твердое тело, движущееся поступательно, имеет три степенм свободы, так как для описания его движения достаточно задать функции x=f₁(t), y=f₂(t), z=f₃(t) для любой точки и использовать кинематику одной точки.

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором две точки тела (или его продолжения) остаются неподвижными в течение всего времени движения.

Прямая, соединяющая эти точки, называется осью вращения.

Положение тела относительно выбранной системы отсчета полностью и однозначно определяется в любой момент времени, если задано уравнение , то есть у тела одна степень свободы. Угловая скорость , Угловое ускорение

Вращение называется равномерным, если =const

Вращение называется равнопеременным, если =const

и после второго интегрирования

Скорости и ускорения точек тела при вращении

 = f(t), s = h Скорости точек тела при вращении вокруг неподвижной оси пропорциональны их расстояниям до этой оси и перпендикулярны радиусам вращения.

Ускорение точки разлагаем на касательную и нормальные составляющие

т.к. для окружности =h Окончательно

Касательные, нормальные и полные ускорения точек, как и скорости, распределены тоже по линейному закону.

Обозначив  угол между полным ускорением точки и ее радиусом вращения, имеем:

так как нормальное ускорение a_n всегда положительно.

Угол  для всех точек тела один и тот же. Откладывать его следует от ускорения к радиусу вращения в направлении дуговой стрелки углового ускорения независимо от направления вращения твердого тела.

Пример

Диск 1 вращается вокруг неподвижной оси О1 по закону =(t-t2) и приводит во вращение диск 2. Определить угловые скорости дисков, а также скорости и ускорения точек их соприкосновения А в момент времени t=5c, если r1 =0.2 м, r2 = 0.3 м. Имеем При t=5c Скорости и касательные ускорения точек соприкосновения дисков 1 и 2 при отсутствии скольжения между ними одинаковы

Кроме того,