§11. Производная единичной вектор-функции

Пусть вектор-функция а = a(t) такова, что при любом t ad)| = const. Такая вектор-функция называется вектор-функцией постоянной длины. В частности, если \a(t)\ = 1, то она называ­ется единичной вектор-функцией. Справедлива

Лемма. Производная от единичной вектор-функции в каждой точке перпендикулярна самой этой вектор-функции, т.е. из a(t)\-\ следует a' (t) _L a(t).

Доказательство. \a(t)\ = 1 => ~ (t) = 1 => a ²(t) = 1.

Продифференцируем это равенство: 2 a (t)- a' (t) =0 => a' (t) _L а(!). Лемма доказана.

§12. Длина дуги кривой

Длиной дуги кривой г = г (/) между точками /Ц, (/₀) и Л/(/) называется предел периметра ломаной (MqM\ ... M_n_i М_п), вписанной в эту кривую, при стремлении числа точек М₀М\ ... М_п к бесконечности и длины наибольшего отрезка ломаной к нулю.

Как известно из курса матема­тического анализа, длина дуги кривой г = г (t) от точки

М () (t₀) до точки M(t) вычис- ляется по формуле

(12.1)

или

S

(12.2)

- J+ (У'У + (^ZT dt

Длина дуги есть функция параметра t: S = S(t). Из (12.2) име­ем :

dS

=

(12.3)

л1(х'У~ +(/)² +(z')²

dt

Мы можем в качестве параметра выбрать длину дуги, отсчиты­ваемой от некоторой начальной точки М₀. Тогда уравнение кривой можно представить в виде г = г (.s’) . Параметр s называ­ется естественным или натуральным параметром кривой. При t=s из (12.3) получаем:

(

dr

ds

12.4)

Следовательно, вектор производной вектор-функции г = г (s), отнесенной к естественному параметру, по длине дуги есть еди­ничный вектор. Его обозначают г .

г = -^,|т|=1 (12.5)

ds

Вектор есть орт касательной к кривой.

§13. Формулы Френе

Рассмотрим уравнение кривой в естественной паарамет- ризации г = г (s). Продифференцируем его по натуральному па­раметру .s’:

dr

• = т (13.1)

ds

т- орт касательной к кривой. Продифференцируем это выраже­ние еще раз:

11олученный вектор мы обозначили через /V. Вектор /V называ­ется вектором кривизны кривой в данной точке, а его длина /V | - кривизиои кривой, j N\ = к. Если кФ 0, то число

• = р называется радиусом кривизны кривой в данной точке.

к

Так как вектор г - единичный, то по лемме § 11 он перпендику­лярен своей производной, т.е.

• 1г ,а, значит, /V_L г. ds

Прямая, проходящая через данную точку М₀ кривой с направляющим вектором N , называется главной нормалью кривой в точке М_{). Главная нормаль перпендикулярна касатель­ной и лежит в нормальной плоскости.

В ыберем орт главной нормали v 11 N, | v | = 1. Тогда N = kv. Итак,

ds

Рассмотрим векторное произ­ведение векторов гик Это единичный вектор, который обозначим р.

£ = [r,v]

О

(13.4)

н перпендикулярен г и v. Вектор Р называется ортом би­нормали кривой в точке М₀, а прямая, проходящая через точку Mq по вектору р - бинормалью кривой в точке А/₀.

Таким образом, с каждой точкой кривой связана тройка единичных векторов г, V, Д которая образует репер, называемый каноническим репером кривой. Координатные плоскости этого репера носят следующие названия:

[А/₀, г, v\ - соприкасающаяся плоскость,

[А/о, p. v] - нормальная плоскость,

[А/₀, г, /?] - спрямляющая плоскость.

Совокупность трех прямых: касательной, нормали, бинормали и трех плоскостей: соприкасающейся, нормальной и спрямляю­щей образует сопровождающий трехгранник кривой.