§8. Путь

Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная вектор-

функция г = г (/). С помощью вектор-функции г (t) порождается некоторое отображение отрезка [а,/?] в пространство, если ка­ждому числу t е [a,h] поставить в соответствие точку M(t) - конец вектора г (().

Б удем говорить, что э го ото­бражение определяет в пространст­ве некоторый путь I. Вектор- функцию г = г (г) будем называть параметрическим представлением пути /.

Путь / называется регуляр­ным, если определяющая его век­тор-функция r{t)eC*_ab] и всюду

на промежутке [а, b ] г \t) * 0.

Если к= 1, то путь называется гладким. Пусть путь / определяется вектор-функцией г = г (г), где t е [a, b], а путь т

• вектор-функцией g = g(т), те [а, (5 ]

Два регулярных пути / и т называются эквивалентны­ми, если определяющие их вектор-функции r(t)eC*_ab],

g(z) е С^_{и /Л} удовлетворяют условиям:

1. Существует функция t = f(r) класса С , причем,

f(a) = a, f(p) = Л и при любом те [а, /3] f '(т) * 0;

2. При любом те [а, р ] г (/(т) ) — g(t).

§9. Кривая. Касательная к кривой.

Кривой или линией назовем класс эквивалентных между собой регулярных путей. Класс эквивалентных между собой гладких путей будем называть гладкой кривой.

Всякая кривая вполне определяется одним из представи­телей класса регулярных путей, т.е. вектор-функцией г = г (7). Поэтому в дальнейшем будем говорить, что кривая задастся вектор-функцией г = г {t) одного скалярного аргумента.

Пусть кривая задана вектор-функцией г = г (t). Придадим

а

А

ргументу t приращение A t . Функция г (/) получит прира­щение А г = г (t+At) - г (t).

Вектор А г определяет секу­щую ЛВ для кривой /. Как из­вестно, касательной к кривой в О / точке А называется предель­

ное положение секущей АВ, когда точка В стремится по

кривой к точке А. Но

А г

lim r'(t)

Д/->0 Д/

Следовательно, вектор г '(t) направлен по касательной к кри­вой. По определению кривой производная г '(() ^ 0 во всех точ­ках. значит, во всех точках кривой существует касательная.

Выведем векторное уравнение касательной к кривой в точке Ма. Пусть г,) - радиус-вектор точки Mo , R - радиус-вектор текущей точки касательной. Тогда векторы R - г о и г ' коллин еарны. R - г о = X г ' или

R = п, + X г' (9.1)

Эго - векторное уравнение касательной к кривой. Уравнение (9.1) равносильно трем скалярным равенствам

х

(9.2)

= *₀ + Ах', у = у„+Ху', z = z ₀ + Я z ,

которые называются параметрическими уравнениями касатель­ной к кривой в точке М₀ (хо , у₀, zo). Я - параметр. Из парамет­рических уравнений легко получаются канонические уравнения:

₌ У-Уо ₌ ^z~^zo _(д

§10. Нормальная плоскость кривой

С каждой точкой кривой связана плоскость, проходящая через эту точку перпендикулярно касательному вектору. Эта плоскость называется нормальной плоскостью кривой. Всякая прямая, лежащая в нормальной плоскости и проходящая через данную точку кривой, называется нормалью к кривой в этой точке. Таким образом, кривая в каждой своей точке имеет бес­конечно много нормалей.

Выведем векторное уравнение нормальной плоскости

кривой.

Если r₍₎- радиус-вектор точки Мо (х₀ ,уо, z₀), a R - радиус- вектор текущей точки нор­мальной плоскости, то векто­

р

О

ы R - го = М₀М и г ' вза­имно перпендикулярны. По­этому их скалярное произве­дение равно нулю:

(R-r₀,r') = 0 (10.1)

Это есть векторное уравнение нормальной плоскости.

Или в координатах:

(

(10.2)

х - Хо) х'+ (у-уо) у' + (z - z₍₎) z'= О