1.1.6. Структури в системах зі сталою температурою

Другий початок термодинаміки, а також -теорема Больцмана та теорема Гіббса стосуються систем зі сталою енергією, поведінка яких визначається зростанням ентропії до її максимального значення. Такі системи, очевидно, повинні бути строго замкненими, і реалізувати їх майже неможливо.

Більш реалістичною є модель систем, у яких підтримується стала температура. Для опису таких систем потрібно користуватися вже не ентропією, а вільною енергією Гельмгольца¹⁶ . Для ізотермічних систем замість закону зростання ентропії діє закон зменшення вільної енергії.

Структура формули для відбиває конкуренцію між енергією та ентропією . При низьких температурах , і мінімум вільної енергії відповідає мінімуму енергії (і, як правило, невеликим значенням ). При зростанні температури стан системи зсувається в бік зростання ентропії і вже не відповідає мінімуму енергії .

Справді, при низьких температурах речовина звичайно набуває форми кристалів, що мають упорядковану структуру і, відповідно, малу ентропію. При зростанні температури кристалічні структури поступово руйнуються. При достатньо високих температурах реалізується газоподібний стан речовини з високою ентропією.

Таким чином, на перший погляд, обов’язковою умовою існування структур з високим ступенем упорядкованості є низька температура системи. Проте насправді в природі існує також принципово інший тип упорядкованих структур, які породжуються нерівноважним станом системи. Для їх виникнення низька температура, взагалі кажучи, не потрібна. Саме такі структури (вони, як уже вказувалося у Вступі, називаються дисипативними) будуть розглядатися в цьому курсі.

Контрольні питання до розділу 1.1.

1. На чому ґрунтується доведення -теореми Больцмана?

2. Чому виробництво ентропії в замкненій системі частинок, які взаємодіють між собою лише через зіткнення, пов’язане з необоротними процесами?

3. Як співвідносяться між собою другий початок термодинаміки, -теорема Больцмана та теорема Гіббса?

4. Як співвідносяться між собою ентропія Больцмана, ентропія Гіббса та ентропія Шеннона?

5. Порівняйте між собою структури, що виникають у системах при низьких температурах, та дисипативні структури.

Задачі до розділу 1.1.

1.1.1. Посудина розділена на два сполучені між собою відділення з однаковими об’ємами, в яких знаходиться відповідно та частинок ( ). Ймовірність потрапляння частинки до кожного з відділень пропорційна його об’єму. Покажіть, що визначення ентропії , де , для такої системи еквівалентне до загального визначення ентропії Больцмана.

1.1.2. Посудина розділена на два сполучені між собою відділення об’ємами та . Ймовірність потрапляння частинки до кожного з відділень пропорційна до його об’єму. Запишіть ймовірність того, що частинок розподіляться по відділеннях у кількості та відповідно. Запишіть ентропію, що відповідає стану термодинамічної рівноваги.

1.1.3. Розв’яжіть задачу 1.1.2 для випадку, коли посудина розділена

а) на три відділення з об’ємами , та ;

б) на однакових відділень.

1.1.4. З’ясуйте, за яких умов система рівнянь

зводиться до узагальненого рівняння Релея - Ван-дер-Поля

.

1В. Томсон, лорд Кельвін (William Thomson, 1st Baron Kelvin; 1824 –1907) – великий англійський фізик, залишив видатні роботи в галузі термодинаміки, електрики, теорії газів.

2 Ч. Дарвін (Charles Robert Darwin; 1809 – 1882) – англійський натураліст та мандрівник, автор еволюційної теорії походження живих організмів.

3 О.М. Ляпунов (Алекса́ндр Миха́йлович Ляпуно́в, 1857 – 1918) – видатний російський математик, академік Петербурзької академії наук, творець сучасної теорії стійкості систем із зосередженими параметрами. У 1885-1902 роках працював у Харківському університеті, у 1918 році – в Новоросійському університеті (м. Одеса).

4 Л. Больцман (Ludwig Eduard Boltzmann, 1844 – 1906) – австрійський фізик-теоретик, творець статистичної механіки та молекулярно-кінетичної теорії.

5 Дж. Гіббс (Josiah Willard Gibbs; 1839 – 1903) – американський математик, фізик і фізико-хімік, один з творців векторного аналізу і математичної теорії термодинаміки. Працював у Йельському університеті.

6 К. Шеннон (Claude Elwood Shannon; 1916 – 2001) – американський математик та електротехнік, один з творців математичної теорії інформації.

7 Див., наприклад: І.О.Анісімов. Коливання та хвилі. К., Академпрес, 2003.

8 Ж.Б. Фур’є (Jean Baptiste Joseph Fourier,1768 – 1830) – великий французький математик і фізик, член Французької Академії. Запропонував ряди та інтеграли Фур’є, записав та дослідив рівняння теплопровідності в твердому тілі.

9 Р. Клаузіус (Rudolf Julius Emanuel Clausius; 1822 – 1888) – німецький фізик та математик. Найвідоміші його роботи присвячені теоретичній термодинаміці.

10 В. Гамільтон (William Rowan Hamilton; 1806 – 1865) – видатний ірландський математик. Отримав фундаментальні результати в теорії інтегрування диференціальних рівнянь, запропонував поняття векторного поля і розробив основи векторного аналізу, запропонував новий спосіб отримання рівнянь руху механічних систем на основі принципу найменшої дії.

11 Дж.В. Стретт, третій барон Релей, або лорд Релей (Рейлі) (John Strutt, 3rd Baron Rayleigh, 1842 – 1919) - видатний англійський фізик, Нобелівський лауреат (1904, за відкриття аргону). Один з творців теорії коливань та хвиль. Отримав також відомі результати в галузі теплового випромінювання та розсіювання світла.

12 Див., наприклад: Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М., Наука, 1984.

13 Детальне виведення рівняння, аналогічного (1.1.34), можна знайти в книзі: Ахманов С.А., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику. М., Наука, 1984.

14 А. Фоккер (Adriaan Daniël Fokker, 1887 –1972) – нідерландський фізик, теоретично досліджував статистику броунівського руху.

15 М Планк (Max Karl Ernst Ludwig Planck; 1858 – 1947) – великий німецький фізик, один з фундаторів квантової механіки. Займався проблемами термодинаміки, теорією дифузії.

16 Г. фон Гельмгольц (Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz; 1821 – 1894) – видатний німецький фізик, фізіолог і психолог. Основні роботи в галузі фізики присвячені закону збереження енергії, введенню поняття вільної енергії, проблемам акустики та гідродинаміки.

26