1.Лінійні функції однієї змінної

Рівняння прямої: ах+bу+с= 0, причому хоча б одне з чисел а, b не рівне нулю.

Якщо b≠0, то рівняння прямої можна звести до вигляду у=kх+m, при цьому число k називають кутовим коефіцієнтом прямої. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом k, яка проходить через точку M(x₀, y₀) має вигляд у-у₀=k(х-x₀) (1.1).

Рівняння прямої, яка проходить через точки А(x_a ,y_a) та В(х_в,у_в), має вигляд

(у-у_А)(х_в-х_А) = (х-х_а)(Ув-Уa).(1.2)

У випадку, коли пряма АВ не паралельна координатним прямимі Ох або Оу, рівняння прямої можна записати у вигляді

(1.3)

Якщо пряма АВ паралельна прямій Ох, то рівняння (1.2) набуває вигляду у = у_A, а якщо вона паралельна прямій Оу, то рівняння (1.2) має вигляд х = х_A.

Для того, щоб знайти спільні точки прямих L₁: а₁х+b₁у+с₁=0 та L₂: а₂x+b₂у+c₂=0, необхідно розв'язати систему

При цьому можливі три випадки:

1. – система має єдиний розв’язок

2. - система не має розв’язків

3. - система має безліч розв’язків

Розглянемо тепер прямі L₁: y=k₁x+m₁ та L₂: у=k₂x+m₂. Умови парале­льності і перпендикулярності прямих L₁ та L₂ мають вигляд:

=> L₁┴ L₂= >k₁k₂=-1.

Відстань р(M, l) від точки M(x0, y0) до прямої l: ax+by+c=0 заходиться за формулою

р(M, l)=

2.Лінійні функції багатьох змінних

y=b₀+b₁x₁+b₂x₂+b₃x₃ – функція багатьох змінних.

Загальне рівняння площини у просторі:

Умови паралельності та перпендикулярності площин. Нехай задано дві площини:

Види рівнянь прямої у просторі

┴

Відстань від точки M0(x0, y0, z0) до прямої l: ax+by+cz+d=0 заходиться за формулою

р(M₀, )=

Види рівнянь прямої у просторі

1.Пряма як перетин двох непаралельних площин задається системою рівнянь

2.Канонічне рівняння прямої р (пряма, що проходить через то­чку М₀(х₀,у₀,z₀) паралельно вектору = (l, m, n), який називається напрямним вектором до прямої р):

3. Рівняння прямої р, що проходить через дві задані точки М₀(х₀,у₀,z₀) та М₁(х₁,у₁,z₁):

4. Параметричне рівняння прямої р. Прирівняємо всі відношення у канонічному рівнянні прямої до нової змінної - параметра t та виразимо змінні х, у, z через t маємо параметричне рівняння прямої:

Умова паралельності прямих, заданих канонічними рівняннями

та

3.Криві другого порядку на площині.

Загальне рівняння кривої другого порядку на площині:

Ах² +Вху + Су² +Dх + Еу + F = 0, де коефіцієнти А, В, С не можуть одночасно перетворюватись у нуль.

Основні криві другого порядку та їх канонічні рівняння

Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відс­таней від кожної з яких до двох фіксованих точок (фокусів) є сталою величиною (її позначають 2а).У частинному випадку за умови збігання фокусів еліпс перетворю­ється на коло. Кажуть, що еліпс розташований канонічно, якщо його фокуси містяться на осі ОХ симетрично відносно початку координат у точках F₁(-с,0) і F₂(с,0). При цьому рівняння еліпса називається каноніч­ним і має вигляд

Гіперболою називається геометричне місце точок площини, мо­дуль різниці відстаней від кожної з яких до двох фіксованих точок (фокусів) є сталою величиною (її позначають 2а).

Кажуть, що гіпербола розташована канонічно, якщо її фокуси містяться на осі ОХ симетрично відносно початку координат у точках F₁(-с,0) і F₂ (с,0). При цьому рівняння гіперболи називається кано­нічним і має вигляд

Параболою називається геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої прямої (директриси) та даної точки (фокусу). Кажуть, що парабола розташована канонічно, якщо її фокус мі­ститься на осі ОХ в точці з координатами F(0, p/2), р > 0, а директ­риса задається рівнянням х=-р/2 . При цьому рівняння параболи називається канонічним і має вигляд

у²=2рх.