Частина 1. Термодинаміка відкритих систем

Другий початок термодинаміки підводив перших його дослідників до думки, що Всесвіт (а, отже, й Земля, як його частина) поступово еволюціонує в напрямку встановлення термодинамічної рівноваги, яка характеризується максимальною невпорядкованістю (концепція „теплової смерті Всесвіту”, висунута В.Томсоном¹). З іншого боку, спостереження за біосферою Землі привели до появи еволюційної теорії Дарвіна². Остання стверджувала, що життя розвивається від простіших форм до складніших, тобто в процесі еволюції ступінь упорядкованості біологічних систем зростає. Склалося враження, що біологія та фізика вступили між собою в гостру суперечність.

Ця суперечність була розв’язана лише дослідниками ХХ століття (зокрема, І.Р.Пригожиним), які створили нерівноважну термодинаміку і продемонстрували, що в системах, далеких від термодинамічної рівноваги, можуть спонтанно виникати різного роду стаціонарні та нестаціонарні структури. Відповідно й другий початок термодинаміки, який первісно формулювався для замкнених систем, був узагальнений на випадок відкритих систем.

Саме про термодинаміку відкритих систем піде мова у першій частині цього курсу.

Розділ 1.1. Ентропія та другий початок термодинаміки для замкнених систем

Перш ніж безпосередньо розглядати відкриті системи, нагадаємо необхідні для подальшого викладу відомості зі статистичної фізики та термодинаміки, що стосуються замкнених систем та їхньої рівноваги. Дослідження рівноваги термодинамічних систем спирається на метод функцій Ляпунова³, який викладено на початку розділу. Далі обговорюється статистичне визначення ентропії за Больцманом⁴ (для ідеального газу), за Гіббсом⁵ (для набору частинок із довільним законом взаємодії) та за Шенноном⁶ (для системи, описуваної набором змінних довільної природи). Розглядаються Н-теорема Больцмана та теорема Гіббса, які за своїм змістом аналогічні другому початку термодинаміки (в рамках відповідних моделей). Наприкінці розділу коротко обговорюється природа утворення структур у системах зі сталою температурою (такі системи вже не можна вважати замкненими)  саме таким структурам присвячено основну частину даного курсу.

1.1.1. Достатня умова стійкості динамічної системи

З курсу теоретичної фізики добре відома процедура дослідження стійкості положення рівноваги (або стійкості руху) для систем із невеликою кількістю ступенів вільності, яка зводиться до лінеаризації рівнянь руху за малими відхиленнями та наступного дослідження коренів отриманого таким чином характеристичного рівняння⁷. Але такий метод, очевидно, дуже ускладнюється для систем з великою кількістю ступенів вільності. В останньому випадку інколи зручніше користуватися методом так званих функцій Ляпунова, який і розглядається в цьому підрозділі.

1.1.1.1. Функція Ляпунова і теорема Ляпунова

Розглянемо динамічну систему, що описується набором диференціальних рівнянь вигляду:

, (1.1.1)

Нехай при виконано умову

. (1.1.2)

Тоді точка є точкою рівноваги для аналізованої динамічної системи.

Нехай при система характеризується станом . Чи буде ця система з часом еволюціонувати до точки рівноваги ? Іншими словами, чи буде точка атрактором?

Щоб відповісти на це питання, введемо деяку функцію , таку, що вона є позитивною при всіх і перетворюється в нуль у точці . Називатимемо її функцією Ляпунова.

Розглянемо, як функція Ляпунова змінюється з часом:

. (1.1.3)

Теорема Ляпунова стверджує, що точка є атрактором, якщо похідна має знак, протилежний знаку (в нашому випадку ).

Щоб пояснити зміст теореми Ляпунова, розглянемо візок, що рухається в одновимірній потенціальній ямі. Достатньою умовою того, щоб візок опинився саме в мінімумі потенціалу, є вимога, щоб із часом його потенціальна енергія монотонно зменшувалася. Теорему Ляпунова можна розглядати як узагальнення цього твердження на випадок, коли потенціал є функцією багатьох координат (або інших змінних, аналогічних до координат). Аналогом потенціалу виступає функція Ляпунова.

Підкреслимо, що теорема Ляпунова дає достатню, але не необхідну умову переходу системи до стану стійкої рівноваги. Крім того, вона не дає рецепту побудови функції Ляпунова, що ускладнює її застосування. Але у випадках, коли таку функцію вдається вгадати, теорема Ляпунова виявляється зручним інструментом дослідження стану рівноваги.

1.1.1.2. Приклад застосування теореми Ляпунова

Проілюструємо застосування теореми Ляпунова на прикладі задачі про теплопровідність, описуваної рівнянням Фур’є⁸:

, (1.1.4)

де  температура,  коефіцієнт температуропровідності.

Розглядатимемо проміжок з граничними умовами (температура на кінцях проміжку підтримується незмінною). Функцію Ляпунова оберемо у вигляді:

. (1.1.5)

Тоді з урахуванням рівняння (1.1.4)

. (1.1.6)

Інтегруючи по частинах, отримаємо:

. (1.1.7)

З рівняння Фур’є (1.1.4) випливає, що . Але на кінцях відрізка і, відповідно, . Тому в цих точках , тобто перший доданок у правій частині (1.1.7) зникає, і

. (1.1.8)

Отже, стан є атрактором.

Відзначимо, що в розібраному прикладі теорема Ляпунова застосована не для динамічної системи вигляду (1.1.1), яка має скінчену кількість змінних, а для системи з розподіленими параметрами, де кількість змінних складає континуум.