Свойства операций над событиями:
1.
;
2.
;
;
4.
A + B = B + A,
AB = BA ;
A(BC) = (AB)C, 6. A + (B + C) = (A + B) + C ;
A(B + C) = AB + AC ; 7.
.
Рассмотрим пространство элементарных событий , соответствующее некоторому стохастическому эксперименту, и пусть F некоторая система случайных событий.
Система событий F называется алгеброй событий, если выполняются условия:
1) 
;
2) если
;
3) если А
и В
и
.
Отсюда следует, что применяя любые из введенных выше операций к произвольной системе событий из F, получим событие, так же принадлежащее F. Таким образом, алгеброй событий называется класс событий, замкнутый относительно операций объединения, пересечения и дополнения.
Вероятность события численно характеризует степень объективной возможности этого события.
Пусть пространство элементарных событий некоторого стохастического эксперимента и в выделена система событий F, являющаяся алгеброй событий.
Определение:
Если каждому событию
поставлено в соответствие число р(А)
и верны свойства:
1)
; 2)
;
3) если А
и В
несовместны
,
то р(А+В) =
р(А) + р(В),
тогда число р(А) называется вероятностью случайного события А.
Свойства вероятности:
1.
;
2. Если события A и В несовместны, то р(А+В) = р(А) + р(В);
3.
.
Пространство
элементарных событий
с выделенной в нем алгеброй событий F
и определенной на измеримом пространстве
(
, F)
вероятностной мерой р(А),
,
называется вероятностным
пространством
и обозначается (
,
F,
p(A)).
Классическое определение вероятности
Если множество
элементарных событий
состоит из n
равновозможных
элементарных
событий, то вероятность р(А)
события А
равна числу m
элементарных событий, входящих в А,
деленному на число всех элементарных
событий, т. е.
.
Условной
вероятностью
называют вероятность события А,
вычисленную в предположении, что событие
В
уже наступило.
Условная вероятность события А при условии, что событие В произошло, определяется формулой
,
где
.
События А
и В
– называются независимыми,
если при происхождении одного из них
не изменяется вероятность происхождения
другого. Для независимых событий
выполняется равенство
.
Очевидно, что для независимых событий справедливо:
.
Смысл определения независимости событий заключается в том, что если произошло одно из независимых событий, то это никак не влияет на вероятность появления другого события.
События
называются независимыми
в совокупности,
если для любых k
из них
выполняется соотношение:
.
Если это соотношение
выполняется при k = 2,
то события
называются попарно
независимыми.
Теорема сложения. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
p(А+В) = p(А) + p(В) – p(АВ).
Если события А и В несовместны, то p(А+В) = p(А) + p(В).
Теорема умножения. Вероятность совместного наступления двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при условии, что первое событие наступило:
.
Если события А
и В
независимы, то
.
Пример 1. Брошены три монеты. Найти вероятность того, что выпадут две “решки”.
Пространство
элементарных событий данного
стохастического эксперимента:
= {ООО, ООР,
ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР}
состоит из 8 равновозможных исходов
(
).
Число благоприятных элементарных
исходов для события A
= «выпали две “решки”» = {ОРР,
РОР, РРО}
равно 3 (
). Следовательно,
.
Пример 2.
В студенческой группе из 15 девушек и 10
юношей по жребию разыгрывается билет
в театр. Какова вероятность, что билет
достанется девушке? Событию A
= «билет достался девушке» благоприятствует
15 элементарных событий (
)
из 25 равновозможных (
).
Следовательно,
.
Пример 3. Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 из 25 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все эти вопросы.
Рассмотрим событие
А
= «студент знает ответы на все три
заданных вопроса». Оно состоит из
событий: «студент знает ответ на 1-ый
вопрос» (
)
И
«студент знает ответ на 2-ой вопрос» (
)
И
«студент знает ответ на 3-ий вопрос»
(
).
.
Если студент ответил на первый вопрос,
то всего осталось 19 вопросов, которые
он знает из 24 оставшихся, следовательно,
вероятность второго события, при условии,
что первое произошло равна
.
Аналогично
.
Таким образом, по теореме умножения вероятностей
.
(Или по классическому
определению вероятности:
,
где число благоприятных событий
число –
сочетаний из 20 знакомых вопросов по
три; число всевозможных событий
– число сочетаний из всех 25 вопросов
по три.)
Пример 4. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при возгорании датчик сработает для первого и второго датчиков соответственно равны 0,9 и 0,95. Найти вероятность того, что при пожаре сработает: а) хотя бы один датчик; б) только один датчик.
Обозначим:
– вероятность
срабатывания 1-го датчика, тогда
вероятность его несрабатывания равна
;
– вероятность
срабатывания 2-го датчика, тогда
вероятность его несрабатывания равна
.
Вероятность того,
что при возгорании сработает хотя бы
один датчик (событие А)
можно вычислить по теореме сложения
вероятностей:
или через противоположное событие (оба
датчика не сработали):
.
Вероятность того,
что при возгорании сработает только
один датчик (событие В)
равна
.