25

1. Погрешности измерений

П о окончании измерения необходимо получить не только значение физической величины, но и оценить точность результата измерения. Количественной мерой точности служат характеристики погрешности результата измерений.

Абсолютной погрешностью  результата измерения называется разность между результатом измерения X и истинным значением измеряемой величины X_и:

 = X – X_и. (1)

Поскольку истинное значение Xи неизвестно, погрешность находят по приближенной формуле

Δ ≈ X – X_д, (2)

где X_д – действительное значение измеряемой величины, заведомо более точное, чем X.

Относительной погрешностью δ результата измерения называют отношение абсолютной погрешности Δ к значениям X_д или X, выраженное в долях или процентах:

, (3)

или

. (4)

В зависимости от источника возникновения погрешности результата измерения различают инструментальную Δ_и, методическую Δ_мет и субъективную Δ_суб составляющие этой погрешности:

Δ = Δ_и + Δ_мет + Δ_суб . (5)

Инструментальная погрешность обусловлена погрешностями применяемых средств измерений, методическая – несовершенством метода измерений, а субъективная – индивидуальными особенностями оператора. Пример методической погрешности (погрешности метода измерений): погрешность, вызванная изменением измеряемой физической величины при подключении средства измерений к объекту (погрешность от взаимодействия средства измерений с объектом). Пример субъективной погрешности: погрешность отсчитывания по шкале прибора.

Если в процессе измерения физической величины она не изменяется (статическое измерение), то имеет место статическая погрешность результата измерения. В противном случае возникает дополнительная составляющая погрешности, называемая динамической погрешностью результата измерения.

При многократном измерении не изменяющейся во времени физической величины результаты измерений изменяются, причем эти изменения в общем случае нельзя предсказать. Поэтому результат измерения X и погрешность результата измерения Δ следует считать случайными величинами. Математическое ожидание называют систематической погрешностью Δ_с:

Δ_с = . (6)

Тогда

Δ = Δ_с + , (7)

где - составляющая погрешности Δ, имеющая нулевое математическое ожидание; ее называют случайной (или центрированной) погрешностью.

Основными характеристиками погрешности Δ являются: функция распределения F(Δ), плотность вероятности f(Δ), математическое ожидание = Δ_с и среднеквадратическое отклонение σ(Δ) = σ.

2. Формы представления результатов измерений

В связи со случайностью погрешности Δ результат измерения можно представить в следующем виде:

x; Δ от Δ_н до Δ_в; P, (8)

где x – значение измеренной величины; Δ_н и Δ_в – соответственно нижняя и верхняя границы погрешности; P – вероятность того, что погрешность примет значение в пределах от Δ_н до Δ_в:

P = P[Δ_н < Δ < Δ_в]. (9)

Интервал [Δ_н ; Δ_в] называют доверительным интервалом, а P – доверительной вероятностью.

Обычно выбирают симметричный относительно нуля доверительный интервал, при котором

–Δ_н = Δ_в = Δ_г, (10)

где Δ_г – граничное значение погрешности. Тогда (1.9) можно представить в виде

P = P[|Δ| < Δ_г], (11)

а результат измерения – в более простом по сравнению с (8) виде:

x ± Δ_г, P. (12)

При этом задачу оценки точности результата измерения можно было бы сформулировать так: при заданном значении Δ_г необходимо найти P или при заданном значении P найти Δ_г. Очевидно, результат измерения тем точнее, чем меньше Δ_г при заданном P (или больше P при заданном значении Δ_г). В метрологии принято выбирать значения P из ряда: 0,95; 0,99; 1.

Если бы законы распределения погрешностей были известны, то доверительную вероятность можно было бы рассчитать по формулам:

(13)

Практически законы распределения погрешностей известны приближенно. Чаще всего их аппроксимируют нормальными законами распределения или законами равномерной плотности.

Недостаточной информацией о законах распределения погрешностей объясняется следующая рекомендация: значения Δ_н, Δ_в и Δ_г указываются не более, чем с двумя значащими цифрами, причем последняя значащая цифра должна быть того же порядка, что и последняя значащая цифра результата измерения x. Например,

U = 104,3 В; Δ от –1,2 до 1,5 В; P = 0,95.

Такая запись означает, что для выбранной модели закона распределения погрешностей истинное значение измеряемого напряжения находится в диапазоне от 102,8 до 105,5 В с вероятностью 0,95.

Если систематическая погрешность Δ_с известна, то целесообразно исключить ее из результата измерения, заменив результат измерения x на исправленное значение результата измерения x_испр:

x_испр = x – Δ_с = x + η, (14)

где η = –Δ_с – поправка. В отличие от x, исправленное значение x_испр не содержит систематической погрешности и для многих законов распределения погрешностей может быть существенно точнее.

Обычно известно не значение Δ_с, а диапазон возможных значений систематической погрешности:

Δ_сн <Δ_с< Δ_св, (15)

где Δ_сн и Δ_св – соответственно нижняя и верхняя границы систематической погрешности. В этом случае поправку рассчитывают по формуле:

(16)

Однако после введения такой поправки остаются неисключенные остатки систематической погрешности Δ_сни, причем

< Δ_сни < . (17)

При расчете погрешности исправленного результата измерения обычно считают Δ_сни случайной величиной, равномерно распределенной на отрезке, заданном формулой (17).