1.2. Векторы и прямые произведения множеств. Проекция вектора на ось
Вектор – это упорядоченный набор элементов (“кортеж”). Его элементы зазываются координатами или компонентами вектора.
Длина (размерность) вектора – число координат вектора.
В отличие от элементов множества, его координаты могут совпадать. Обозначение вектора: в круглых скобках, координаты – через запятую (0, 5, 4, 5, 0, 1). Иногда скобки и даже запятые опускаются.
Векторы длины 2 называют упорядоченными парами; длины 3 – тройками; и т.д., длины n – n-ками.
Два вектора равны,
если они имеют одинаковую длину, и
соответствующие координаты равны, т. е.
,
если
и
,
,
…,
.
Прямым
произведением множеств А и В
(обозначается
А
В)
называется множество всех (упорядоченных)
пар (a, b)
таких, что
и
.
В частности, если А = В,
то обе координаты принадлежат А
(обозначение
).
Прямое
произведение n множеств
(обозначается
)
называется множеством всех векторов
,
длины n
таких, что
,
,
...,
.
.
Пусть А – конечное множество, элементами которого являются символы (буквы, цифры, знаки препинания, знаки операций и т. д.). Такие множества обычно называют алфавитом.
Слова длины n
в алфавите А
– это элементы множества
.
Множество всех слов в алфавите А
– это множество
Здесь слово определено как вектор. При написании слова не принято пользоваться разделителями: скобками, запятыми; они могут оказаться символами самого алфавита. Поэтому слово в алфавите обозначается как конечная последовательность символов из алфавита А.
Примеры:
1) Десятичное число – слово в алфавите цифр {0, 1, 2, 3, ... , 9}.
2) Текст, отпечатанный на машинке – слово в алфавите, определяемом клавиатурой этой машинки.
Теорема (о мощности прямого произведения множеств).
Пусть
конечные множества и
,
,
... ,
.
Тогда мощность множества
равна произведению мощностей множеств
:
.
Следствие:
.
Эта теорема и ее следствие лежат в основе очень многих комбинаторных фактов.
Проекцией
вектора
длины n
на i-ю
ось называется его i-я
координата (обозначение: )
.
Проекцией вектора
на оси с
номерами
называется вектор
длины k
(обозначение:
).
Пусть V – множество векторов одинаковой длины.
Проекцией
множества векторов
V
на i-ось
называется множество проекций всех
векторов из V
на i-ось:
(обозначение:
.
Проекция множества векторов V на оси с номерами :
.
В частности, если
,
то
=
.
В общем случае
вовсе не обязательно прямое произведение,
оно может быть и подмножеством.
Примеры:
1) Проекция точки плоскости на 1-ю ось – абсцисса, на 2-ю ось – ордината.
2) Дано множество
векторов
;
,
,
,
,
,
.
3)
.
Чему равна
?
Ее найти нельзя, так как заданное
множество V-
множество векторов разной длины, в
отношении которых никаких определений
не было сделано.
Упражнения
Пусть {2, 3}; {3, 4}; {1, 0}. Найти:
1) ;
6)
;
2)
;
7)
;
3)
;
8)
;4) ;
9)
;5)
;
10)
.Определить мощности множеств
;
;
;
;
;
,
и построить их, если
1)
;
;
3)
;
;
2)
= {(1; 2)},
=
{a;
b;
c;
d};
4)
= {1; 2; 3},
=
{1; 2}.
Записать все слова из 3-х букв, которые можно построить из алфавита А. Осуществить перечисление в лексикографическом порядке.
1)
;
2) 
;
3)
Пусть
;
;
и
.
Описать и изобразить графически
следующие множества
1)
; 3)
;
2)
;
4)
Найти
;
;
;
;
;
,
если
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.