1.5. Соответствия и функции

Соответствием множеств А и В называется подмножество G такое, что . Если , то говорят, что “b соответствует a при соответствии G”. Область определения соответствия G – множество пр₁ G  A. Область значений соответствия G – множество пр₂G  B.

Соответствие G называется всюду (полностью) определенным –  если пр₁ G = А (в противном случае – частично определенное соответствие). Соответствие G называется сюрьективным, если пр₂ G = B.

Образ элемента a в множестве B при соответствии G – это множество всех элементов , которые соответствуют . Прообраз элемента b в множестве А при соответствии G – это множество всех , которым соответствует .

Образом множества С  пр₁ G называется объединение образов всех элементов С. Прообразом множества D  пр₂ G называется объединение прообразов всех элементов D.

Соответствие G называется функциональным (однозначным) соответствием, если образом любого элемента из пр₁ G является единственный элемент из пр₂ G.

Соответствие G называется инъективным соответствием, если прообразом любого элемента из пр₂ G является единственный элемент из пр₁ G.

Соответствие F является функцией типа , если оно функционально (однозначно) ( ).

Соответствие G является отображением множества А в множество В, если оно функционально и полностью определено.

Соответствие G является взаимно однозначным, если оно: 1) всюду определено; 2) сюрьективно; 3) функционально; 4) инъективно.

Преобразованием множества А называется отображение типа .

Функция типа называется n-местной функцией ( ).

Соответствие называется обратным к , если Н таково, что .

Если соответствие, обратное к функции является функциональным, то оно называется функцией, обратной к f ( ).

Пусть дана функция . Соответствие является функцией тогда и только тогда, когда f инъективна, и является отображением тогда и только тогда, когда f инъективна и сюрьективна (т.е. биективна).

Утверждение: Для функции существует обратная функция тогда и только тогда, когда f является взаимнооднозначным соответствием между своей областью определения и областью значений.

Пусть даны функции и .

Функция называется композицией функций f и g, если (обозначение ). Часто говорят, что h получена подстановкой f в g.

Для многоместных функций и возможны различные варианты подстановки f в g, задающие функции различных типов. Например, при и функция имеет 6 аргументов и тип .

Для множества многоместных функций типа возможны любые подстановки функций друг в друга, а также любые переименования аргументов. Например, переименование в из функции четырёх аргументов порождает функцию трёх аргументов: .

Функция, полученная из функций некоторой подстановкой их друг в друга и переименованием аргументов, называется суперпозицией функций . Выражение, задающее эту суперпозицию и содержащее функциональные знаки, скобки и символы аргументов, называется формулой.

Взаимно однозначные соответствия и мощность множеств

Утверждение (о взаимно однозначном соответствии равномощных множеств): Если между конечными множествами А и В существует взаимно однозначное соответствие, то .

Этот факт:

1) позволяет установить равенство мощностей двух множеств, не вычисляя мощностей этих множеств;

2) дает возможность вычислить мощность множества, установив его взаимно однозначное соответствие с множеством, мощность которого известна или легко вычисляется.

Теорема (о числе подмножеств конечного множества)

Если для конечного множества А ( ), то число всех подмножеств множества А равно .

Множества равномощны, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Счетные множества это множества равномощные N (т. е. между ними и N можно установить взаимно однозначное соответствие).

Утверждение 1: Множество – счетно.

Утверждение 2: Любое бесконечное подмножество множества N – счетно.

Утверждение 3: Множество – счетно.

Следствие: Множество – положительных рациональных чисел – счетно.

Утверждение 4: Множество , где ,  счетно.

Утверждение 5: Объединение конечного числа счетных множеств – счетно.

Утверждение 6: Объединение счетного множества конечных множеств – счетно.

Следствие: Множество всех слов конечного алфавита – счетно.

Утверждение 7: Объединение счетного множества счетных множеств – счетно.

Несчетные бесконечные множества называются множествами мощности континуум. (Мощность несчетного бесконечного множества называется континуумом).

Теорема (Кантора): Множество всех действительных чисел отрезка [0, 1] имеет мощность континуума.

Следствие: Множество всех подмножеств несчетного множества континуально.