6.2. Функциональная схема цифровых систем управления

Функциональная схема ЦСУ приведена на рис. 6.7, где К - коммутатор; АЦП – аналогово-цифровой преобразователь; ЦАП – цифроаналоговый преобразователь.

Функциональная схема ЦСУ в отличие от функциональной схемы непрерывной САУ содержит интерфейс ввода-вывода УВМ (коммутатор, АЦП, ЦАП, нормирующие преобразователи и т.д.). Кроме того цифровой регулятор, устройство сравнения и задающее устройство реализованы в виде программ УВМ и оперируют они только с дискретными (цифровыми) сигналами.

Рис. 6.7. Функциональная схема ЦСУ

6.3. Математическое описание цифровых систем управления

Поведение ЦСУ в отличие от непрерывных САУ описывается во временной области разностными уравнениями, а в частотной – дискретными передаточными функциями.

Дискретные передаточные функции получаются на основе z-преобразования, которое в дискретном случае играет такую же роль, что и преобразование Лапласа в непрерывном случае. Z-преобразование тесно связанно с дискретным преобразованием Лапласа, определяемое соотношением

, (6.4)

где - дискретная последовательность идеальных импульсов (решетчатая функция), задаваемая соотношением

, (6.5)

где - смещенные дельта-функции, существующие только в моменты времени и равные нулю при всех остальных значениях .

Недостатком дискретного преобразования Лапласа является наличия в выражении (6.4) трансцендентного сомножителя , из-за которого преобразование и дискретная передаточная функция становятся иррациональными функциями аргумента p, что создает значительные трудности при их использовании.

С целью получения дискретной передаточной функции в дробно-рациональной форме, свойственной непрерывным системам, вводят замену:

. (6.6)

Тогда имеем, что

, (6.7)

которое называется z-преобразованием дискретной последовательности.

Для большинства встречающихся в расчетах решетчатых функций z-преобразование может быть выполнено при помощи таблиц соответствия, которые приводятся в специальной литературе по импульсным или цифровым САУ. Например: ;

;

и т.д.

Главное достоинство и удобство z-преобразования заключается в том, что сама запись z-изображения (6.7) указывает простой способ выполнения прямого и обратного z-преобразований.

1. Чтобы по известной функции времени найти её z-изображение, необходимо лишь каждое дискретное значение умножить на , а затем свернуть получившийся степенной ряд в конечную сумму.

2. Чтобы по известному изображению найти соответствующий сигнал , необходимо представить изображение в виде степенного ряда по убывающим степеням , получающиеся при этом числовые коэффициенты ряда и есть дискретные значения сигнала .

Свойства z-преобразования аналогичны свойствам непрерывного преобразования Лапласа. Приведем основные из них:

1. Свойство линейности

.

2. Теорема о начальном значении оригинала:

.

3. Теорема о конечном значении оригинала:

.

4. Теорема запаздывания:

. (6.8)

Соотношение (6.8) показывает, что умножение на соответствует задержке дискретного сигнала на l интервалов дискретизации.

Дискретной передаточной функцией называется отношение z-изображения выходной переменной к z-изображению входной переменной при нулевых начальных условиях:

, (6.9)

т.е.

, (6.10)

где - есть временная задержка на один шаг дискретизации.

Дискретные передаточные функции можно непосредственно получить по непрерывным передаточным функциям :

. (6.11)

с использованием таблиц соответствия. Этот способ получения является точным, однако достаточно трудоемким для САУ высокого порядка. Поэтому в практических расчетах ЦСУ используется приближенный метод получения через , называемый методом подстановок. Самостоятельно получить разностные уравнения и для всех типовых динамических звеньев.