- •Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •5 Уравнения, не разрешенные относительно производной ………………………………. 12
- •5.3 Уравнения вида ……………………………………………………………..13
- •Предисловие
- •Общие понятия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности
- •1.1 Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение
- •Уравнения, не разрешенные относительно производной.
- •Особые решения
- •Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие методы
- •2.1 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •Уравнение вида
- •Однородные уравнения и приводящиеся к ним
- •Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним
- •Уравнение Бернулли
- •2.7 Уравнение вида
- •Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •3.1 Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Уравнение Риккати
- •Использование частных решений для построения общего решения
- •Уравнения, не разрешенные относительно производной
- •5.1 Метод «интегрирования посредством дифференцирования»
- •Уравнения вида
- •Уравнения вида
- •Уравнение Клеро
- •5.5 Уравнение Лагранжа
- •Приближенные аналитические методы решения уравнений
- •6.1 Метод последовательных приближений (метод Пикара)
- •Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной
- •Метод регулярного разложения по малому параметру
- •Список литературы
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •446086 Самара, Московское шоссе, 34.
Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной
Решение задачи Коши (1) – (2) можно искать в виде ряда Тейлора по степеням
разности (х – х0):
(4)
Первый коэффициент в решении (4) задается начальным условием (2).
Последующие значения производных искомой величины в точке х = х0 определяются из уравнения (1) и его следствий (полученных путем последовательного дифференцирования уравнения) с учетом начального условия (2). В частности, полагая в уравнении (1) х = х0 и подставляя значение (2), находим значение первой производной:
(5)
Дифференцируя далее уравнение (1), имеем
(6)
Подставив в правую часть этого равенства х = х0 , начальное условие (2) и первую производную (5), вычислим значение второй производной:
.
Подобным образом определяются и последующие производные искомой величины при х = х0 .
Полученное данным методом решение (4) обычно можно использовать лишь в
некоторой (достаточно малой) окрестности точки х = х0 : .
П р и м е р 11. Найти первые четыре члена разложения решения задачи Коши:
Подставляя в исходное уравнение начальные условия, находим Дифференцируем исходное уравнение:
Подставляя сюда начальные условия, находим Дифференцируя последнее уравнение и подставляя в полученное выражение для начальные условия, находим Аналогичным образом Окончательно
.
Метод регулярного разложения по малому параметру
Рассмотрим уравнение общего вида с параметром :
(7)
Пусть функция f может быть представлена в виде степенного ряда по параметру :
. (8)
Решение задачи Коши для уравнения (7) с начальным условием (2) при ищут
в виде регулярного разложения по степеням малого параметра:
, . (9)
Выражение (9) подставляют в уравнение (7) с учетом представления (8). Затем функции fn разлагают в ряд по малому параметру и собирают члены при одинаковых степенях . Приравнивая выражения при одинаковых степенях малого параметра правой и левой частях полученного равенства, приходят к системе уравнений для функций :
(10)
(11)
Здесь выписаны только первые два уравнения, штрихом обозначены производные по х. Начальные условия для функций получаются из (2) с учетом разложения (9):
Успех применимости данного метода, в первую очередь, определяется
возможностью построить решение уравнения (10) для главного члена разложения . Важно отметить, что остальные члены разложения при описываются линейными уравнениями с однородными начальными условиями.
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Индивидуальное задание содержит 10 примеров на интегрирование дифференци-
альных уравнений различных типов, рассмотренных в методических указаниях.
Прежде чем приступить к выполнению задания, необходимо приобрести навыки
свободного владения всеми методами решений, приведенными в методических указаниях.
Рекомендуется следующий порядок решения дифференциальных уравнений:
Определить тип уравнения и привести его к стандартному виду.
Выполнить необходимые при интегрировании данного уравнения квадратуры.
Записать ответ в виде общего решения или общего интеграла.
Записать дополнительные частные и особые решения.
Если решается задача Коши, то по начальным данным следует определить значения постоянной, входящей в состав общего решения.
Желательно сделать проверку полученного решения.
Образцы решения всех типовых задач имеются в тексте методических указаний.
В а р и а н т 1
6. ;
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 2
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 3
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 4
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 5
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 6
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 7
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 8
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 9
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 10
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 11
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 12
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 13
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 14
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 15
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 16
В а р и а н т 17
6.
7.
8.
9.
10.
В а р и а н т 18
; 6. ;
; 7.
; 8.
9. ;
10.
В а р и а н т 19
; 6. ;
; 7. ;
; 8. ;
; 9. ;
; 10. .
В а р и а н т 20
; 6. ;
; 7. ;
; 8. ;
; 9. ;
; 10.
В а р и а н т 21
; 6. ;
; 7. ;
; 8. ;
; 9. ;
; 10.
В а р и а н т 22
; 6. ;
; 7. ;
; 8. ;
; 9. ;
; 10.
В а р и а н т 23
; 6. ;
; 7. ;
; 8. ;
; 9. ;
; 10.
В а р и а н т 24
; 6. ;
; 7. ;
; 8. ;
; 9. ;
; 10. .
В а р и а н т 25
; 6. ;
; 7. ;
; 8. ;
; 9. ;
; 10. .
В а р и а н т 26
; 6. ;
; 7. ;
; 8. ;
; 9. ;
; 10.
В а р и а н т 27
; 6. ;
; 7. ;
; 8. ;
; 9. ;
; 10.
В а р и а н т 28
; 6. ;
; 7. ;
; 8. ;
; 9. ;
; 10.
В а р и а н т 29
; 6. ;
; 7. ;
; 8. ;
; 9. ;
; 10.
В а р и а н т 30
; 6. ;
; 7. ;
; 8. ;
; 9. ;
; 10.