- •Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •5 Уравнения, не разрешенные относительно производной ………………………………. 12
- •5.3 Уравнения вида ……………………………………………………………..13
- •Предисловие
- •Общие понятия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности
- •1.1 Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение
- •Уравнения, не разрешенные относительно производной.
- •Особые решения
- •Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие методы
- •2.1 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •Уравнение вида
- •Однородные уравнения и приводящиеся к ним
- •Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним
- •Уравнение Бернулли
- •2.7 Уравнение вида
- •Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •3.1 Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Уравнение Риккати
- •Использование частных решений для построения общего решения
- •Уравнения, не разрешенные относительно производной
- •5.1 Метод «интегрирования посредством дифференцирования»
- •Уравнения вида
- •Уравнения вида
- •Уравнение Клеро
- •5.5 Уравнение Лагранжа
- •Приближенные аналитические методы решения уравнений
- •6.1 Метод последовательных приближений (метод Пикара)
- •Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной
- •Метод регулярного разложения по малому параметру
- •Список литературы
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •446086 Самара, Московское шоссе, 34.
Уравнения, не разрешенные относительно производной.
В общем случае уравнения, не разрешенные относительно производной, имеют вид
(3)
Теорема существования и единственности. Существует единственное
решение у = у (х) уравнения (3), удовлетворяющее условиям и , где - один из действительных корней уравнения если в некоторой окрестности точки выполнены условия:
Функция непрерывна по всем трем аргументам;
Частная производная Ft существует и отлична от нуля;
Существует ограниченная по модулю частная производная Fy:
Указанное решение существует при , где > 0 – некоторое (достаточно малое) число.
Особые решения
Точки (х, у), в которых нарушается единственность решений уравнения (3),
называются особыми. Если удовлетворяются условия 1) и 3) теоремы существования и единственности, то в особых точках должны одновременно выполняться равенства
(4)
которые представляют собой параметрическую запись t – дискриминантной кривой. Исключая из (4) параметр t, в ряде случаев можно получить уравнение этой кривой в неявном виде Если какая-нибудь ветвь кривой состоит из особых точек и одновременно является интегральной кривой, то она называется особой интегральной кривой, а функция – особым решением уравнения (3).
Особые решения можно найти путем определения огибающей семейства
интегральных кривых уравнения (3). Огибающая входит в состав С -дискриминантной кривой, которая задается уравнениями .
Некоторая ветвь С - дискриминантной кривой будет огибающей, если на ней:
существуют ограниченные по модулю частные производные:
Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие методы
интегрирования
2.1 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
Уравнения с разделенными переменными имеют вид
Эквивалентная запись уравнения: (правая часть уравнения зависит только от х, а левая – только от у). Общее решение получается почленным интегрированием:
где С – произвольная постоянная.
П р и м е р 1. Решить уравнение .
Записав уравнение в виде и представив это как , интегрируя имеем
или у = С/х. Решением является также у = 0.
Уравнения с разделяющимися переменными имеют вид
Делим обе части на В результате приходим к уравнению с разделенными переменными. После интегрирования получим
Замечание. При почленном делении уравнения на могут быть потеряны решения, обращающие функцию в нуль, а также решение вида х = а , где .
П р и м е р 2. Проинтегрировать уравнение .
Разделяем переменные Интегрируя находим Откуда
При делении на могли быть потеряны решения