2. Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли имеет вид

Подстановка z = y^1-a приводит его к линейному уравнению которое рассматривается в разд.2.5. Учитывая сказанное, получим общий интеграл

где

П р и м е р 6. Проинтегрировать уравнение

Здесь а =1/2, тогда замена у = z² приводит данное уравнение Бернулли к линейному уравнению интегрируя которое находим , следовательно .

2.7 Уравнение вида

Замена и = у / х приводит данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными см. разд. 2.1.

3. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

3.1 Уравнение в полных дифференциалах

Уравнение в полных дифференциалах имеет вид

где

Левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции двух переменных U (х, y).

Общий интеграл: U (х, y) = С, где функция U определяется из системы

Интегрируя первое уравнение, имеем (при интегрировании переменная у рассматривается как параметр). Подстановка этого выражения во второе уравнение позволяет найти функцию (а затем и функцию U ).

П р и м е р 7. Решить уравнение

Здесь , т.е. имеем уравнение в полных дифференциалах. Следовательно

Первое уравнение интегрируем по х: Подставляя это во второе уравнение, получим откуда или

Окончательно Общий интеграл имеет вид

2. Интегрирующий множитель

Интегрирующим множителем для уравнения

называется такая функция не равная тождественно нулю, после умножения на которую левая часть этого уравнения становится полным дифференциалом, а само уравнение – уравнением в полных дифференциалах.

Интегрирующий множитель удовлетворяет уравнению с частными производными

первого порядка

Но, если известно частное решение этого уравнения, то исходное уравнение интегрируемо в квадратурах.

П р и м е р 8. Проинтегрировать уравнение

Уравнение для имеет вид

Попытаемся найти частное решение в виде Подстановка этой функции в последнее уравнение обращает его в тождество при m = n = -2 , следовательно Умножая исходное уравнение на эту функцию, превращаем его в уравнение в полных дифференциалах: Отсюда имеем два уравнения:

Здесь проще проинтегрировать второе уравнение по у : Подставляя это в первое уравнение, получим откуда Окончательно

4. Уравнение Риккати

4.1 Общее уравнение Риккати. Простейшие случаи интегрирования

Общее уравнение Риккати имеет вид

(1)

При оно вырождается в линейное уравнение (см. разд. 2.5), а при в уравнение Бернулли (см. разд. 2.6 при а = 2). При произвольных функциях уравнение Риккати в квадратурах не интегрируется.

Ниже указаны некоторые случаи, когда уравнение Риккати интегрируется в

квадратурах.

• Функции пропорциональны:

где a, b, c – константы. Это уравнение с разделяющимися переменными, см. разд. 2.1.

• Уравнение Риккати

Является однородным, см. разд. 2.3.

• Уравнение Риккати

Является обобщенно-однородным, см. разд. 2.4 (при k = – n – 1). Замена приводит его к уравнению с разделяющимися переменными

• Уравнение Риккати

С помощью подстановки приводится к уравнению с разделяющимися переменными