Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П.КОРОЛЕВА»
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
Методические указания и индивидуальные задания
Самара 2010
Составитель: И.В. Алименков
УДК 517.912
Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка: Метод.
Указания/ Самара.гос.аэрокосм.ун-т.
Сост. И.В. Алименков. Самара, 2010. 24 с.
В справочной форме приведены основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, формулировки теорем и методы решения. Рассмотрены также приближенные аналитические методы интегрирования уравнений первого порядка. Изложение сопровождается подробными решениями типовых примеров. Представлено 30 вариантов индивидуальных заданий, каждый из которых содержит 10 задач.
Работа выполнена на кафедре прикладной математики.
Библиография: 7 наименований.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П.Королева.
Рецензент А.А.Дегтярев.
Содержание
Предисловие ………………………………………………………..…………………………. 4
1 Общие понятия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности …………… 5
1.1 Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение …………… 5
1.2 Задача Коши. Теорема существования и единственности …………………………... 5
1.3 Уравнения, не разрешенные относительно производной …………………………... 5
1.4 Особые решения ……………………………………………………………………….. 6
2 Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие методы
интегрирования ……………………………………………………………………………... 6
Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными …………………….. 6
2.2 Уравнение вида
……………………………………………………….
7
2.3 Однородные уравнения и приводящиеся к ним ……………………………………... 7
2.4 Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним ……………………….. 8
2.5 Линейные уравнения …………………………………………………………………… 8
2.6 Уравнение Бернулли …………………………………………………………………… 9
2.7 Уравнение вида
………………………………………………..
9
3 Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель …………………. 9
3.1 Уравнение в полных дифференциалах ………………………………………………. 9
3.2 Интегрирующий множитель ………………………………………………………….. 10
4 Уравнение Риккати ………………………………………………………………………… 10
4.1 Общее уравнение Риккати ………………………………………………………….... 11
4.2 Использование частных решений для построения общего решения ………………. 11
5 Уравнения, не разрешенные относительно производной ………………………………. 12
5.1 Метод «интегрирования посредством дифференцирования» …………………….. 12
5.2 Уравнения вида
……………………………………………………………..13
5.3 Уравнения вида ……………………………………………………………..13
5.4 Уравнение Клеро ………..................................................................................... 13
5.5 Уравнение Лагранжа ………………………………………………………………….. 13
6 Приближенные аналитические методы решения уравнений …………………………… 14
6.1 Метод последовательных приближений (метод Пикара) ………………………….. 14
6.2 Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной …………………… 14
6.3 Метод регулярного разложения по малому параметру ……………………………... 15
Варианты индивидуальных заданий ………………………………………………………... 16
Список литературы …………………………………………………………………………... 24