- •Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •5 Уравнения, не разрешенные относительно производной ………………………………. 12
- •5.3 Уравнения вида ……………………………………………………………..13
- •Предисловие
- •Общие понятия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности
- •1.1 Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение
- •Уравнения, не разрешенные относительно производной.
- •Особые решения
- •Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие методы
- •2.1 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •Уравнение вида
- •Однородные уравнения и приводящиеся к ним
- •Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним
- •Уравнение Бернулли
- •2.7 Уравнение вида
- •Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •3.1 Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Уравнение Риккати
- •Использование частных решений для построения общего решения
- •Уравнения, не разрешенные относительно производной
- •5.1 Метод «интегрирования посредством дифференцирования»
- •Уравнения вида
- •Уравнения вида
- •Уравнение Клеро
- •5.5 Уравнение Лагранжа
- •Приближенные аналитические методы решения уравнений
- •6.1 Метод последовательных приближений (метод Пикара)
- •Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной
- •Метод регулярного разложения по малому параметру
- •Список литературы
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •446086 Самара, Московское шоссе, 34.
Предисловие
В данных методических указаниях рассматриваются дифференциальные уравнения
первого порядка, интегрируемые в квадратурах. Приведены краткие сведения из теории, разобраны типовые примеры и представлены 30 вариантов индивидуальных заданий.
Предназначены для студентов направлений 010501 - «Прикладные математика и информатика», а также 019600 - «Прикладные математика и физика» в качестве руководства при подготовке к практическим занятиям и выполнению индивидуальных заданий.
Автор обращается к читателям с просьбой направлять свои отзывы о данной методической работе на кафедру прикладной математики Самарского государственного аэрокосмического университета имени академика С.П.Королева. Все критические замечания будут рассмотрены и учтены при следующих изданиях.
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Общие понятия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности
1.1 Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение
Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид
. (1)
Иногда его записывают с помощью дифференциалов:
Решением дифференциального уравнения называется функция y(x), которая при
подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общим решением дифференциального уравнения называется совокупность всех его частных решений. В ряде случаев общее решение удается записать в виде функции зависящей от одной произвольной постоянной С ; при конкретных значениях С эта функция определяет конкретные решения уравнения (частные решения). На практике чаще встречается запись общего решения в неявном виде Ф(x,y,C) = 0 или в параметрической форме: x = x (t,C), y = y (t,C).
Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство
кривых на плоскости ху , зависящих от одного параметра С ; эти кривые называются интегральными кривыми данного уравнения. Частному решению (частному интегралу) соответствует одна кривая семейства, проходящая через заданную точку плоскости.
Уравнение для каждой точки (х,у) определяет значение , т.е. угловой
коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку (задает поле направлений на плоскости ху ). Задача решения дифференциального уравнения первого порядка с геометрической точки зрения состоит в нахождении кривых, направление касательных к которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.
Задача Коши. Теорема единственности
Задача Коши : требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее
начальному условию
у = у0 при х = х0 . (2)
Геометрический смысл задачи Коши: надо найти интегральную кривую уравнения
(1), проходящую через точку (х0, у0).
Условие (2) часто записывают в виде у(х0) = у0 .
Теорема единственности. Пусть функция f(х,у) непрерывна в замкнутой
области D и имеет там ограниченную частную производную по у (или выполняется условие Липшица: где M – некоторая положительная константа). Тогда существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее условию(2).