Показатели вариации

Вариация – это изменение величины признака у элементов изучаемой совокупности.

Меры вариации – это меры, с помощью которых в статистике измеряют изменчивость величины изучаемого признака единиц совокупности.

Меры вариации должны соответствовать определенным условиям, для того чтобы отражать лишь изменение вариации:

1. Значение меры вариации должно быть небольшим в том случае, если элементы исследуемого ряда не имеют больших различий, и, наоборот, значение меры вариации должно быть большим, если элементы ряда имеют существенные отличия друг от друга.

2. Значение меры вариации не должно зависеть от числа элементов ряда, то есть от численности исследуемой совокупности.

3. Значение меры вариации не должно зависеть от значения средней, то есть величина средней не должна оказывать влияние на меру вариации.

4. Мера вариации должна быть выражена одним числом.

Размах вариации – разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:

, (6.21)

Средний модуль отклонений:

, (6.22)

Общая сумма квадратов отклонений единиц совокупности от средней величины:

, (6.23)

Средний квадрат отклонений (дисперсия) показывает, на сколько в среднем квадратов отклонений каждый элемент совокупности отличается от среднего значения.

– простая дисперсия, (6.25)

– взвешенная дисперсия, (6.26)

Также используют следующие формулы расчета дисперсии:

, (6.27)

, (6.28)

, (6.29)

, (6.30)

Среднее квадратическое отклонение, или стандартное отклонение, показывает, на сколько единиц в среднем каждый элемент совокупности отличается от среднего значения.

– простое, (6.31)

– взвешенное, (6.32)

Коэффициент вариации:

, или , (6.33)

Основные свойства дисперсии

1. Если из каждого значения варианты отнять (прибавить) одно и то же постоянное число А, то средний квадрат отклонений от этого не изменится:

, (6.34)

Отсюда следует, что дисперсию можно рассчитать не только по заданным вариантам, но и по отклонениям этих вариант от какого-то постоянного числа:

, (6.35)

2. Если каждое значение вариант разделить или умножить на одно и то же постоянное число А, то дисперсия уменьшится (увеличится) от этого в А² раз, а стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) – в А раз:

, (6.36)

Отсюда следует, что все варианты можно разделить на какое-то одно и то же постоянное число (например, интервал ряда), рассчитать среднее квадратическое отклонение, а затем умножить его на это постоянное число:

, (6.37)

3. Средний квадрат отклонений, рассчитанный от средней величины, всегда будет меньше среднего квадрата отклонений, рассчитанного от любой другой величины А (свойство минимизации): , причем больше на квадрат разности между средней и этой величиной А, т.е. на . Данное правило можно записать как:

или (6.38)