4.5. Регрессионное и факторное планирование экспериментов

Регрессионное и факторное планирование экспериментов подразумевает возможность построения аналитической регрессионной модели объекта испытаний/3, 6/. Такое планирование наиболее часто используется при исследованиях систем управления технологическими процессами.

Регрессионные планы испытаний позволяют как определить условия испытаний, так и оценить необходимое число экспериментов для достижения целей испытаний. Таким образом определяют затраты на проведение испытаний.

Предполагается три степени информированности исследователя относительно модели объекта испытаний:

1) модель (функция) известна. Требуется оп-

ределить или уточнить неизвестные параметры модели:

2) известно, что функция совпадает с одной из

функций:

Требуется определить, какая из функций _{, ,}

_..., является истинной, и найти неизвестные параметры модели.

3) вид функции не известен. Известно лишь, что эта

функция в интересующей исследователя области может быть достаточно хорошо апроксимирована конечным рядом по некоторой системе заранее заданных функций. Требуется найти наилучшее описание функции

Факторным пространством называют пространство размерности п, в котором определен вектор X, значения которого в i-том эксперименте равны значениям контролируемых переменных, занумерованных в удобном для экспериментатора порядке.

Задачи факторного планирования возникли при сельскохозяйственных исследованиях, но потом стали использоваться в других областях деятельности /6/. Как и регрессионные планы, планы факторные относятся к методам математической статистики. Важное отличие от регрессионного планирования состоит в том, что рассматривается фиксированное число уровней контролируемой переменной. При факторном планировании рассматривают количественные и качественные переменные.

Количественной называют переменную, все значения которой рассматриваются как некоторые числа.

Переменную называют качественной переменной, если хотя бы одно ее значение рассматривается как символ (может быть записанный в виде числа).

Строгий способ введения этих понятий заключается в следующем: считать качественными переменными те, для которых рассматривается модель для качественных переменных, и считать количественными переменными те, для которых рассматривается модель для количественных переменных.

При факторном планировании каждое из различных значений, которые принимает переменная X_i в плане D_xi={X_iU},(i=1, ..., m; u=1, .... N) называют уровнем. Число различныхуровней одной переменной X_i обозначают через S_i. Каждомуиз различных уровней переменной X_i ставят в соответствиесимволы 0,1 S_i-1, независимо от того, является ли переменная Х_i количественной или качественной. В этом случае говорят о факторе F_i, принимающем значения 0,1, ..., S_i-1. Тогда

где: F_iu - значения, которые принимает фактор F_i в и-том опыте.

матрица плана может быть переписана в следующем виде:

План называют симметричным, если все факторы имеют одинаковое число уровней.

План называют равномерным, если уровни любого фактора встречаются в плане одинаковое для данного фактора число раз.

План называют факторным в случае определенного типа модели, для которой данный план рассматривается. Типы моделей и примеры приведены в работе/6/.

План, содержащий N = S_i*...* S_m различных опытов, называют полным факторным планом.

План, содержащий меньшее число опытов, называют дробным планом.

Для оценки значений зависимой переменной (параметров эффекта) используют регрессионные модели и метод наименьших квадратов, описанный в третьей главе.

Часто под факторным планом понимают множество точек факторного пространства с относительными значениями параметров -1 и +1 (то есть рассматриваются всего два уровня факторов: максимальный и минимальный). Такой факторный план включает комбинации из наибольших и наименьших значений каждого из факторов. Он содержит 2^m экспериментов (где m - число факторов). Иногда в факторные планы включают центральную точку плана, соответствующую средним абсолютным значениям факторов, то есть рассматривают три уровня факторов.

Факторное планирование эксперимента может быть априорным статистическим и непрерывным (последовательным).

Под статистическим (в рамках регрессионного) планированием эксперимента здесь понимается априорное планирование всего множества экспериментов в целом до их начала. Для широкого класса функций статистическое планирование экс-

периментов заключается, по существу, в использовании готовых таблиц, описывающих характеристики оптимальных планов /3/.

Под последовательным планированием понимают планирование экспериментов по этапам с учетом полученных на предыдущих этапах результатов, вплоть до достижения целей экспериментов.

При последовательном планировании выделенные ресурсы (материальные, время) разбивают на несколько частей, каждая из которых используется для обеспечения соответствующих этапов испытаний. Логическая последовательность действий при последовательном планировании экспериментов включает: «планирование» - «эксперимент» - «анализ» - «планирование». При этом этап «анализ» подразумевает не только обычный регрессионный анализ экспериментальных данных, но и анализ сведений, поступающих извне/3/. Реализация последовательности этапов прекращается при достижении целей экспериментального исследования, в том числе и определения параметров исследуемого процесса с заданной точностью.

С вычислительной точки зрения, последовательное планирование при критерии минимума определителя дисперсионной матрицы, заключается в поиске на каждом этапе минимального значения определителя матрицы/3/:

где: D_u - матрица, состоящая из элементов , соответ-

ствующих параметрам, интересующим экспериментатора.

План Е₁(Т) будет предпочтительнее плана Е₂(Т), если для одних и тех же затрат первый определитель будет меньше второго:

где: Т - затраты, отведенные на данный эксперимент.

Когда требуется определить, какая из функций _, , ..., является истинной, могут проводиться дис-

криминирующие эксперименты /6/.

Планирование дискриминирующих экспериментов заключается в поиске таких точек, результаты измерений в которых позволили бы отличить одну модель от другой и сделать вывод об истинности одной из моделей. При этом может выдвигаться и проверяться совокупность конкурирующих гипотез. В этом случае экспериментатор должен /3/:

1. выдвинуть совокупность конкурирующих гипотез;

2. построить функцию потерь;

3) провести анализ априорных сведений для определениявероятностей появления соответствующих гипотез;

4) выбрать оптимальное решающее правило;

5) оптимально разместить затраты в области планирования эксперимента.

Главными недостатками факторного планирования испытаний многофункциональных систем являются:

1. применение их в том случае, когда возможно описание процесса регрессионной математической моделью (ограничения, накладываемые на вид функции параметров эффекта в зависимости от параметров факторного пространства);

2. большое число необходимых для его реализации экспериментов (при факторном планировании на двух уровнях оно равно 2ⁿ, где п - число факторов, влияющих на исследуемый процесс);

3. отсутствие обоснованных процедур сокращения числа экспериментов в плане в том случае, когда полный факторный план не может быть реализован ввиду отсутствия необходимых опытных образцов, средств или времени на проведение испытаний.

4. технические условия проведения испытаний не рассматриваются, что порождает риск неадекватности условий;

5) при изменении структуры объекта или условий его функционирования использование любых ранее полученных результатов становятся некорректным.