6.4. Вихревой характер магнитного поля. Теорема Гаусса для магнитного поля

Теоретический расчет индукции магнитного поля прямолинейного провода с током показал, что линии индукции магнитного поля замкнуты сами на себя. Теория электромагнетизма и экспериментальные данные указывают, что замкнутость линий индукции является общим свойством любого магнитного поля. Заметим, что линии напряженности электростатического поля начинаются на положительных электрических зарядах, а заканчиваются на отрицательных зарядах

Для электростатического поля закон Кулона в дифференциальной форме записывается как

(1.60)

где величина характеризует мощность источников поля в каждой точке, которая пропорциональна объемной плотности электрического заряда.

В силу отсутствия магнитных зарядов мощность источников магнитного поля равна нулю, и вместо (1.60) для магнитного поля получим

(6.10)

Понятие магнитного потока введем по аналогии с понятием потока линий напряженности электрического поля. Магнитный поток через поверхность с единичной нормалью выражается как поверхностный интеграл от индукции магнитного поля:

(6.11)

Из (6.11) следует другое название для магнитной индукции - плотность магнитного потока, как магнитный поток в расчете на единицу площади поверхности.

Пусть теперь поверхность - замкнутая, для которой нормаль выбрана внешней. Для магнитного поля применим формулу Гаусса-Остроградского, которая связывает мощность источников поля с потоком порождаемого ими векторного поля:

(6.12)

С учетом (6.10) вместо (6.12) получаем, что магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю:

(6.13)

Формула (6.13) выражает теорему Гаусса для магнитного поля.

6.5. Формула полного тока

Обратимся к формуле (6.6) и рис. 6.5, которые отражают результаты расчета магнитного поля прямолинейного провода с постоянным током. Выразим циркуляцию индукции магнитного поля вдоль контура, совпадающего с выделенной линией индукции магнитного поля (окружностью на рис. 6.5). Обозначим - радиус окружности. Так как величина остается постоянной вдоль этой окружности, а вектор - касательный к окружности в каждой точке, то

или, с учетом (6.6),

(6.14)

Можно показать (см. Матвеев А.Н.), что формула (6.14) остается справедливой, если в качестве контура интегрирования выбрать не линию индукции магнитного поля, а произвольный замкнутый контур, охватывающий провод с током. В частности, если контур не охватывает провод с током, то в (6.14) надо положить . Тогда циркуляция .

Силу тока в проводе выразим как интеграл от плотности тока по поверхности (см. рис. 1.19)):

(6.15)

Рис. 1.19. К формуле Стокса

Поверхность опирается на контур . Для постоянного тока величина интеграла в (6.15) не зависит от выбора формы поверхности в силу закона сохранения электрического заряда.

Подставим (6.15) в (6.14), найдем

(6.16)

Из теории электромагнетизма следует, что формула (6.16) остается справедливой не только в случае прямолинейного тока, но и для произвольного распределения плотности постоянного тока на поверхности .

Пусть имеется система токов, распределенных в пространстве с плотностями , . Обозначим - индукция магнитного поля, созданного ым током. По принципу суперпозиции, индукция результирующего поля , а плотность результирующего тока . Применяя формулу (6.16) для ого тока, имеем:

(6.17)

где - сила тока ой компоненты через поверхность ,

(6.18)

Алгебраически суммируя равенства (6.17) по от до , получим

(6.19)

где сила полного тока через поверхность , равная .

Равенство (6.19) выражает формулу полного тока в интегральной форме.

Применим формулу Стокса для магнитного поля: поток вихря векторного поля через кусочно-гладкую поверхность , ограниченную замкнутым контуром , равен циркуляции вектора по этому контуру.

(6.20)

Подставим (6.16) в (6.20), найдем

откуда в силу произвольности выбора поверхности следует

(6.21)

Равенство (6.21) выражает формулу полного тока в дифференциальной форме. Из (6.21) следует, что в области, где нет токов ( ) имеем: . Аналогично условию для электростатического поля равенство выражает условие потенциальности постоянного магнитного поля в области, где нет токов.

Применим формулу полного тока (6.19) для расчета магнитного поля внутри тороидальной катушки, показанной на рис. 6.7. По виткам катушки течет постоянный ток силой . Пунктирная окружность радиуса , имеющая общий центр с катушкой, соответствует одной линий индукции магнитного поля катушки. Внутренний радиус катушки , а внешний - . В силу симметрии катушки индукция магнитного поля постоянна по величине вдоль пунктирной окружности. Значит циркуляция индукции вдоль этой линии индукции . Та же окружность охватывает ток силой , где - число витков катушки. По формуле полного тока имеем: . Значит, индукция магнитного поля тороидальной катушки на расстоянии от ее центра равна

Рис. 6.7. Тороидальная катушка

Будем неограниченно увеличивать радиус тороида. Тогда отношение , и поле стремится к однородному. Любой отрезок тороида стремится по форме к прямолинейной катушке – соленоиду. Заметим, что - число витков на единицу длины соленоида, что дает выражение индукции магнитного поля соленоида: