- •1.1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных исходов
- •1.2. Относительная частота и вероятность события. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Геометрическое определение вероятности
- •1.5. Аксиоматика теории вероятностей
- •1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей
- •1.7. Теорема сложения вероятностей
- •1.8. Формула полной вероятности
- •1.9. Формула Байеса
- •1.10. Вычисление вероятностей в схеме повторных независимых испытаний
- •2.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные величины
- •2.2. Ряд и многоугольник распределения дискретной св
- •2.3. Функция распределения св и её свойства
- •2.4. Плотность распределения непрерывной св и её свойства
- •2.5. Математическое ожидание, мода и медиана св
- •2.6. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •2.7. Биномиальное распределение
- •2.8. Распределение Пуассона
- •3.2. Ряд, функция и плотность распределения случайного вектора
- •3.3. Условные законы распределения
- •3.4. Независимость случайных величин
- •3.5. Коррел-й момент и коэффициент корреляции системы двух св
- •4.1. Закон распределения функции случайного аргумента
- •4.2. Математическое ожидание и дисперсия функции св
- •4.3. Основные свойства математического ожидания
- •4.4. Основные свойства дисперсии
- •5.1. Закон больших чисел
- •5.2. Центральная предельная теорема
- •6.1. Основные понятия теории случайных процессов
- •6.2. Основные характеристики случайных процессов
- •6.3. Стационарные случайные процессы
6.1. Основные понятия теории случайных процессов
На практике часто встречаются случайные величины, непрерывно изменяющиеся в процессе опыта.(процесс качки корабля).
Пусть t – вещественная переменная, которую будем называть временем, а Т – множество её возможных значений. Случайный процесс будем обозначать , а его реализацию – .
Если зафиксировать значение аргумента t, то случайный процесс превращается в обычную случайную величину. Эта случайная величина называется сечением случайного процесса, соответствующим данному значению времени t. Функция , зависящая от переменных и , называется одномерной функцией распределения случайного процесса . Если сечения случайного процесса являются непрерывными случайными величинами и дифференцируема по переменной х, то функция называется одномерной плотностью распределения .
6.2. Основные характеристики случайных процессов
Математическим ожиданием случайного процесса называется неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента t равна математическому ожиданию соответствующего сечения этого случайного процесса. Дисперсией случайного процесса называется неслучайная функция , которая при каждом значении аргумента t равна дисперсии соответствующего сечения этого случайного процесса. Неслучайная функция называется средним квадратическим отклонением случайного процесса.
Если известна одномерная плотность распределения случайного процесса , то математическое ожидание и дисперсия могут быть найдены по формулам:
, .
Корреляционным моментом (автокорреляционной функцией) случайного процесса называется неслучайная функция двух аргументов , которая при каждой паре значений равна корреляционному моменту соответствующих сечений, т.е. , где , . При справедливо равенство . Автокорреляционная функция характеризует степень и характер зависимости между сечениями случайного процесса, соответствующими различным значениям аргумента t.
6.3. Стационарные случайные процессы
Перейдём к математическому определению стационарного случайного процесса. Случайный процесс называется стационарным, если при любых значениях имеют место равенства
и ,
где – некоторая функция одного аргумента. Из второго равенства следует, что для стационарного случайного процесса
.
Таким образом, для стационарного случайного процесса математическое ожидание и дисперсия не зависят от времени, а автокорреляционная функция зависит лишь от степени близости значений своих аргументов.