2.3. Функция распределения св и её свойства

Пусть Х – некоторая СВ. Функция называется функцией распределения этой СВ. Функция распределения может использоваться в качестве вероятностной характеристики как дискретной, так и непрерывной СВ. Рассмотрим основные свойства .

1. . 2. – неубывающая функция аргумента х. 3. . 4. . 5. .

6. Функция распределения непрерывной СВ непрерывна на всей числовой оси.

7. Функция распределения дискретной СВ является ступенчатой и непрерывной слева при любом значении аргумента х. Она имеет разрыв при каждом значении аргумента, совпадающем с возможным значением СВ, а величина соответствующего скачка равна его вероятности.

2.4. Плотность распределения непрерывной св и её свойства

Пусть Х – непрерывная СВ, а – её функция распределения, которая предполагается дифференцируемой. Рассмотрим основные свойства плотности распределения.

1. . 2. . 3. . 4. .

2.5. Математическое ожидание, мода и медиана св

Математическим ожиданием дискретной СВ Х, которая может принимать значения , называется величина , где , и . Если множество значений дискретной СВ счётно, то .

Математическим ожиданием непрерывной СВ Х с плотностью распределения называется величина .

Модой Мо дискретной СВ называется такое её возможное значение , для которого вероятность наибольшая. Модой непрерывной СВ называется такое из её значений, которому соответствует наибольшее значение плотности вероятности .

Медианой Ме непрерывной СВ Х называется такая величина, для которой . Если известна функция распределения , то медиана определяется как корень уравнения .

2.6. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение св

Начальным моментом k-го порядка СВ Х называется величина . Для дискретной СВ , для непрерывной . совпадает с математическим ожиданием. Случайная величина называется центрированной по отношению к СВ Х. Центральным моментом k-го порядка СВ Х называется величина . Центральный момент всегда равен нулю. Центральный момент называется дисперсией СВ Х. Справедливо равенство .

2.7. Биномиальное распределение

Дискретная СВ Х с возможными значениями называется распределённой по биномиальному закону, если её ряд распределения задаётся формулой

,

где – параметр биномиального распределения, . Биномиальное распределение возникает, в частности, в схеме повторных независимых испытаний (Бернулли), где Х – число появлений некоторого события А в n испытаниях, р – вероятность появления события А в одном испытании. Для биномиального закона , .

2.8. Распределение Пуассона

Дискретная СВ Х с возможными значениями называется распределённой по закону Пуассона, если её ряд распределения задаётся формулой

,

где – параметр распределения Пуассона. Известно, что биномиальное распределение в пределе при и совпадает с распределением Пуассона с параметром . Это означает, что при большом n и малом р вероятность , где Х – число появлений события А в n независимых испытаниях, может быть приближённо вычислена по формуле распределения Пуассона при . Для закона Пуассона .

2.9. Равномерное распределение

Непрерывная СВ Х называется равномерно распределённой на отрезке , если множество её возможных значений – отрезок , а вероятность попадания СВ Х на какой-либо участок этого отрезка пропорциональна длине участка.

Для равномерного распределения , .

2.10. Показательное распределение

Непрерывная СВ Х называется распределённой по показательному (экспоненциальному) закону, если множество её возможных значений – полупрямая , а плотность и функция распределения имеют вид:

Здесь – параметр показательного распределения. Для показательного распределения , .

2.11. Нормальное распределение

), а плотность распределения определяется формулой

.

Для нормального закона ,

Стандартный НЗР, если и , , причём для любого x справедливо равенство .

,

. Есть правило «трёх сигма».

3.1. Понятие о системе СВ

На практике часто приходится встречаться с задачами, в которых результат опыта описывается не одной, а двумя или более СВ, образующими систему. Свойства системы СВ не ограничиваются свойствами отдельных величин, входящих в систему: они включают также взаимные связи (зависимости) между СВ.

При изучении систем СВ удобно пользоваться геометрической интерпретацией. Систему двух СВ можно изображать случайной точкой на плоскости, систему из n величин – случайной точкой n-мерного пространства. Вместо образа случайной точки можно использовать образ случайного вектора, тогда система случайных величин рассматривается как случайный вектор.

Случайный вектор называется дискретным (непрерывным), если соответствующие случайные величины являются дискретными (непрерывными).