- •1.1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных исходов
- •1.2. Относительная частота и вероятность события. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Геометрическое определение вероятности
- •1.5. Аксиоматика теории вероятностей
- •1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей
- •1.7. Теорема сложения вероятностей
- •1.8. Формула полной вероятности
- •1.9. Формула Байеса
- •1.10. Вычисление вероятностей в схеме повторных независимых испытаний
- •2.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные величины
- •2.2. Ряд и многоугольник распределения дискретной св
- •2.3. Функция распределения св и её свойства
- •2.4. Плотность распределения непрерывной св и её свойства
- •2.5. Математическое ожидание, мода и медиана св
- •2.6. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •2.7. Биномиальное распределение
- •2.8. Распределение Пуассона
- •3.2. Ряд, функция и плотность распределения случайного вектора
- •3.3. Условные законы распределения
- •3.4. Независимость случайных величин
- •3.5. Коррел-й момент и коэффициент корреляции системы двух св
- •4.1. Закон распределения функции случайного аргумента
- •4.2. Математическое ожидание и дисперсия функции св
- •4.3. Основные свойства математического ожидания
- •4.4. Основные свойства дисперсии
- •5.1. Закон больших чисел
- •5.2. Центральная предельная теорема
- •6.1. Основные понятия теории случайных процессов
- •6.2. Основные характеристики случайных процессов
- •6.3. Стационарные случайные процессы
4.1. Закон распределения функции случайного аргумента
Пусть имеется СВ Х с заданным законом распределения. Другая СВ Y связана с СВ Х зависимостью , где ‑ задана.
Х – дискретная СВ с возможными значениями и их вероятностями . Определим и построим ряд распределения СВ Y.
Теорема. Пусть Х – непрерывная СВ с плотностью вероятности , а – дифференцируемая строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция. Тогда плотность вероятности СВ Y определяется равенством
,
где – функция, обратная к .
4.2. Математическое ожидание и дисперсия функции св
Пусть имеется СВ Х с заданным законом распределения. Другая СВ Y связана с СВ Х зависимостью , где – заданная функция.
Если Х – дискретная СВ с возможными значениями и их вероятностями , то математическое ожидание и дисперсия СВ Y определяются по формулам
, .
Если Х – непрерывная СВ с плотностью вероятности , то
, .
Пусть – случайный вектор, а СВ Z связана с Х и Y зависимостью , где – заданная функция. Тогда если Х и Y – дискретные СВ с возможными значениями и и известны вероятности , , , то
,
.
Если Х и Y – непрерывные СВ и известна плотность , то
, .
4.3. Основные свойства математического ожидания
1. Если с – константа, то .
2. Если с – константа, Х – СВ, то .
3. Если Х и Y – две СВ, то .
по индукции можно получить равенство .
4. Если Х и Y – две СВ, то .
Если Х и Y не коррелированны, то . Если – независимые СВ, то .
4.4. Основные свойства дисперсии
1. Если с – константа, то .
2. Если с – константа, Х – СВ, то .
3. Если Х и Y – произвольные СВ, то , .
Если Х и Y не коррелированные, то . Или – независимые СВ, то
.
5.1. Закон больших чисел
Если Х – СВ с математическим ожиданием и дисперсией , то
( неравенство Чебышева).
Теорема Чебышева. Если – случайные величины, которые независимы, одинаково распределены и имеют математическое ожидание m и дисперсию D, то при неограниченном увеличении n случайная величина сходится по вероятности к константе m, т.е.
.
Доказательство. Рассмотрим СВ . В силу свойств математического ожидания и дисперсии и независимости имеем и , поэтому неравенство Чебышева для СВ при произвольном будет иметь вид . Правая часть при увеличении n стремится к нулю, откуда следует справедливость утверждения теоремы.
Теорема Бернулли. Если – относительная частота появления некоторого события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А появляется с некоторой вероятностью р, то при неограниченном увеличении n относительная частота сходится по вероятности к константе p, т.е.
.
Пусть через число появлений события А в i-м испытании. Очевидно, , – дискретные СВ с возможными значениями 0 и 1, при этом , , . В силу независимости испытаний, СВ независимы, при этом , , и Применяя теорему Чебышева к СВ , получим утверждение теоремы Бернулли.
5.2. Центральная предельная теорема
Теорема Ляпунова. Если – случайные величины, которые независимы, одинаково распределены и имеют математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение , то при неограниченном увеличении n случайная величина сходится по распределению к величине , т.е.
.
Замечание. При условиях, сформулированных в теореме, закон распределения СВ при увеличении n приближается к , а закон распределения СВ – к , т.е.
.
При большом числе независимых измерений СВ Х закон распределения суммы и среднего арифметического результатов измерений близок к нормальному.
Теорема Лапласа. Если – число появлений некоторого события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых это событие появляется с вероятностью р, то при неограниченном увеличении n случайная величина сходится по распределению к случайной величине .
Замечание. Из теоремы следует, что закон распределения СВ при увеличении n приближается к , а закон распределения относительной частоты – к , т.е.
, где .