- •1.1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных исходов
- •1.2. Относительная частота и вероятность события. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Геометрическое определение вероятности
- •1.5. Аксиоматика теории вероятностей
- •1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей
- •1.7. Теорема сложения вероятностей
- •1.8. Формула полной вероятности
- •1.9. Формула Байеса
- •1.10. Вычисление вероятностей в схеме повторных независимых испытаний
- •2.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные величины
- •2.2. Ряд и многоугольник распределения дискретной св
- •2.3. Функция распределения св и её свойства
- •2.4. Плотность распределения непрерывной св и её свойства
- •2.5. Математическое ожидание, мода и медиана св
- •2.6. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •2.7. Биномиальное распределение
- •2.8. Распределение Пуассона
- •3.2. Ряд, функция и плотность распределения случайного вектора
- •3.3. Условные законы распределения
- •3.4. Независимость случайных величин
- •3.5. Коррел-й момент и коэффициент корреляции системы двух св
- •4.1. Закон распределения функции случайного аргумента
- •4.2. Математическое ожидание и дисперсия функции св
- •4.3. Основные свойства математического ожидания
- •4.4. Основные свойства дисперсии
- •5.1. Закон больших чисел
- •5.2. Центральная предельная теорема
- •6.1. Основные понятия теории случайных процессов
- •6.2. Основные характеристики случайных процессов
- •6.3. Стационарные случайные процессы
1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей
Пусть А и В – два произвольных события. Относительные частоты событий А, В и в n повторения испытания выражаются отношениями , и , где – число появлений события в n испытаниях. Обозначим через относительную частоту события А в тех испытаниях, где появилось событие В, а через – вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Поскольку
,
то естественно положить и .
‑ произвольные событий А и В. Независимость событий всегда взаимна.
Теорема. Вероятность произведения произвольных событий вычисляется по формуле . (математической индукцией).
1.7. Теорема сложения вероятностей
Теорема. Вероятность суммы двух произвольных событий А и В вычисляется по формуле .
Если то . (Индукция)
Доказательство. , , .
1.8. Формула полной вероятности
Пусть требуется найти вероятность некоторого события А, которое может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу попарно несовместных событий (гипотез). Тогда искомая вероятность вычисляется по формуле
,
называемой формулой полной вероятности.
1.9. Формула Байеса
Пусть имеется полная группа попарно несовместных событий (гипотез) . Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны . Проведён опыт, в результате которого произошло событие А. Требуется найти условную вероятность гипотезы после того как произошло событие А.
Справедлива следующая формула, называемая формулой Байеса:
,
где .
Вероятность называется априорной вероятностью гипотезы , а – апостериорной вероятностью этой гипотезы.
1.10. Вычисление вероятностей в схеме повторных независимых испытаний
Пусть есть событие А, , . Испытания повторяются независимо друг от друга при неизменных условиях n раз. Требуется найти вероятность того, что при n повторениях испытания событие А произойдёт ровно m раз ( ). Рассмотрим , где , , . . . , , . , , где . .
2.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные величины
Случайной величиной (СВ) называется такая величина, которая в результате опыта может принять одно и только одно значение из некоторого подмножества числовой прямой.
Случайная величина Х называется дискретной, если она принимает только отдельные изолированные друг от друга значения с определёнными вероятностями. Множество возможных значений дискретной СВ может быть конечным или счётным.
Случайная величина Х называется непрерывной, если множество её возможных значений – конечный или бесконечный промежуток числовой прямой, причём вероятность появления каждого отдельного значения равна нулю.
2.2. Ряд и многоугольник распределения дискретной св
Пусть Х – дискретная СВ, которая в результате опыта принимает одно из значений , а , – вероятности появления этих значений. События , являются, очевидно, попарно несовместными и образуют полную группу, поэтому
.
Законом распределения дискретной СВ называется любое соотношение, устанавливающее связь между её возможными значениями и их вероятностями . Простейшей формой задания закона распределения дискретной СВ с конечным множеством значений является следующая таблица, называемая рядом распределения:
-
Х
. . .
р
. . .
Предполагается, что . Если множество возможных значений дискретной СВ счетное, то её ряд распределения иногда удаётся представить формулой вида , , где р – некоторая функция и выполняется условие .