Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
1 - TVLECT-minus.DOC
Скачиваний:
8
Добавлен:
14.11.2019
Размер:
1.19 Mб
Скачать

1.3. Классическое определение вероятности

Пусть , причём . Пусть А – некоторое событие, которое происходит тогда и только тогда, когда наступает элементарное событие из подмножества множества . Поскольку и события попарно несовместны, то

,

где . Поскольку , то , откуда получаем формулу , где n – общее число элементарных исходов испытания, m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А. Формула называется формулой непосредственного подсчёта вероятностей, а данное определение вероятности называется классическим. Формула применима в тех случаях, когда пространство элементарных исходов конечно и соответствующие исходы равновероятны.

1.4. Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности является интуитивным обобщением классического определения. Пусть пространство элементарных исходов  содержит бесконечное число элементов и может быть представлено какой-либо геометрической фигурой. Предполагается, что все элементарные исходы, соответствующие различным точкам этой фигуры, равновозможные. Тогда вероятность события А, состоящего в появлении элементарного события в подобласти области , вычисляется по формуле , где и – меры областей и  (например, длины отрезков, площади плоских фигур, объёмы тел в пространстве).

1.5. Аксиоматика теории вероятностей

Пусть  – некоторое множество элементов произвольной природы, называемых элементарными событиями, а F – множество всех подмножеств . Элементы множества F будем называть событиями. Под операциями над событиями будем понимать операции над соответствующими множествами. Перевод терминов с языка теории множеств на язык теории вероятностей можно представить следующим образом:

Обозначения

Термины

Теория множеств

Теория вероятностей

множество, пространство

пространство элементарных

событий, достоверное событие

элемент множества

элементарное событие

A, B

подмножество A, B

событие A, B

пересечение множеств

A и B

произведение событий A и B

объединение множеств

A и B

сумма событий A и B

разность множеств A и B

разность событий A и B

дополнение множества А

событие, противоположное по отношению к А

пустое множество

невозможное событие

множества A и B

не пересекаются

события A и B несовместны

множества A и B равны

события A и B равносильны

множество А есть под-множество множества B

событие А влечёт за собой

событие В

Пусть множество F обладает следующими свойствами:

1) ;

2) если , то .

Если множество F содержит бесконечное число элементов, то предполагается также справедливость следующего свойства: если , то . Вероятности событий из множества F вводятся с помощью следующих аксиом, предложенных А.Н. Колмогоровым.

Аксиома 1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое его вероятностью.

Аксиома 2. .

Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события попарно несовместны, то .

Таким образом, аксиомы вводят на множестве F неотрицательную, нормированную, аддитивную функцию Р, называемую вероятностью.

Основные следствия из аксиом.

Следствие 1. Для любого события А имеет место .

Следствие 2. Для любого события А имеет место .

Следствие 3. .

Следствие 4. Если , то и .