- •1.1. Событие и эксперимент. Соотношения между событиями. Пространство элементарных исходов
- •1.2. Относительная частота и вероятность события. Статистическое определение вероятности
- •1.3. Классическое определение вероятности
- •1.4. Геометрическое определение вероятности
- •1.5. Аксиоматика теории вероятностей
- •1.6. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей
- •1.7. Теорема сложения вероятностей
- •1.8. Формула полной вероятности
- •1.9. Формула Байеса
- •1.10. Вычисление вероятностей в схеме повторных независимых испытаний
- •2.1. Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные величины
- •2.2. Ряд и многоугольник распределения дискретной св
- •2.3. Функция распределения св и её свойства
- •2.4. Плотность распределения непрерывной св и её свойства
- •2.5. Математическое ожидание, мода и медиана св
- •2.6. Моменты, дисперсия и среднее квадратическое отклонение св
- •2.7. Биномиальное распределение
- •2.8. Распределение Пуассона
- •3.2. Ряд, функция и плотность распределения случайного вектора
- •3.3. Условные законы распределения
- •3.4. Независимость случайных величин
- •3.5. Коррел-й момент и коэффициент корреляции системы двух св
- •4.1. Закон распределения функции случайного аргумента
- •4.2. Математическое ожидание и дисперсия функции св
- •4.3. Основные свойства математического ожидания
- •4.4. Основные свойства дисперсии
- •5.1. Закон больших чисел
- •5.2. Центральная предельная теорема
- •6.1. Основные понятия теории случайных процессов
- •6.2. Основные характеристики случайных процессов
- •6.3. Стационарные случайные процессы
1.3. Классическое определение вероятности
Пусть , причём . Пусть А – некоторое событие, которое происходит тогда и только тогда, когда наступает элементарное событие из подмножества множества . Поскольку и события попарно несовместны, то
,
где . Поскольку , то , откуда получаем формулу , где n – общее число элементарных исходов испытания, m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А. Формула называется формулой непосредственного подсчёта вероятностей, а данное определение вероятности называется классическим. Формула применима в тех случаях, когда пространство элементарных исходов конечно и соответствующие исходы равновероятны.
1.4. Геометрическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности является интуитивным обобщением классического определения. Пусть пространство элементарных исходов содержит бесконечное число элементов и может быть представлено какой-либо геометрической фигурой. Предполагается, что все элементарные исходы, соответствующие различным точкам этой фигуры, равновозможные. Тогда вероятность события А, состоящего в появлении элементарного события в подобласти области , вычисляется по формуле , где и – меры областей и (например, длины отрезков, площади плоских фигур, объёмы тел в пространстве).
1.5. Аксиоматика теории вероятностей
Пусть – некоторое множество элементов произвольной природы, называемых элементарными событиями, а F – множество всех подмножеств . Элементы множества F будем называть событиями. Под операциями над событиями будем понимать операции над соответствующими множествами. Перевод терминов с языка теории множеств на язык теории вероятностей можно представить следующим образом:
Обозначения |
Термины |
|
|
Теория множеств |
Теория вероятностей |
|
множество, пространство |
пространство элементарных событий, достоверное событие |
|
элемент множества |
элементарное событие |
A, B |
подмножество A, B |
событие A, B |
|
пересечение множеств A и B |
произведение событий A и B |
|
объединение множеств A и B |
сумма событий A и B |
|
разность множеств A и B |
разность событий A и B |
|
дополнение множества А |
событие, противоположное по отношению к А |
|
пустое множество |
невозможное событие |
|
множества A и B не пересекаются |
события A и B несовместны |
|
множества A и B равны |
события A и B равносильны |
|
множество А есть под-множество множества B |
событие А влечёт за собой событие В |
Пусть множество F обладает следующими свойствами:
1) ;
2) если , то .
Если множество F содержит бесконечное число элементов, то предполагается также справедливость следующего свойства: если , то . Вероятности событий из множества F вводятся с помощью следующих аксиом, предложенных А.Н. Колмогоровым.
Аксиома 1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число , называемое его вероятностью.
Аксиома 2. .
Аксиома 3 (аксиома сложения). Если события попарно несовместны, то .
Таким образом, аксиомы вводят на множестве F неотрицательную, нормированную, аддитивную функцию Р, называемую вероятностью.
Основные следствия из аксиом.
Следствие 1. Для любого события А имеет место .
Следствие 2. Для любого события А имеет место .
Следствие 3. .
Следствие 4. Если , то и .