1.4. Загальні відомості про вимірювання та теорію помилок вимірів

Основним методом емпіричного пізнання навколишнього нас світу є спостереження - навмисне і цілеспрямоване сприйняття дійсності, в ході якого отримують знання про зовнішні сторони, властивості і відносини об'єктів, що вивчаються. Для вивчення кількісних властивостей об'єкту застосовують два види спостережень - вимірювання і підрахунок.

Якщо спостережуваний об'єкт є сукупність однорідних елементів, робиться їх підрахунок. Результат підрахунку виражається натуральним числом. Підрахунок можна виконати абсолютно точно, коли є можливість спостерігати всі елементи об'єкту. Інакше висновки про спостережувані об'єкти, явища або процеси роблять за наслідками підрахунків, віднесеним до одиниці об'єму, площі, довжини, маси об'єкту або до одиниці часу спостереження. Точність таких висновків залежить від показності спостережуваної частки об'єкту і правильності прийнятої математичної моделі узагальнення результатів підрахунку.

Складнішим спостереженням, в якому підрахунок, - лише складова частина, є вимірювання. Вимірюванням називається знаходження значення фізичної величини досвідченим шляхом за допомогою спеціальних технічних засобів. Під фізичною величиною розуміють характеристику фізичного об'єкту, що визначає яке-небудь його властивість, стан або процес, що відбувається в нім, і що має якісний і кількісний зміст. Надалі ототожнюватимемо поняття фізичної і вимірюваної величини.

Процес вимірювання має кількісна і якісна сторони. Кількісна сторона полягає в отриманні розміру вимірюваної величини. Це є головною метою вимірювання. Розмір, або значення величини, описується основним рівнянням вимірювань

Х = а[х],

де а - числове значення вимірюваної величини; [х] - одиниця вимірювання.

Вимірювані величини, виражені в одних одиницях вимірювань, називаються однорідними. Однорідні величини (кутові) вимірюються в тріангуляції, а неоднорідні величини (кутові і лінійні) вимірюються в полігонометрії.

Значення вимірюваної величини може бути набуте в результаті прямого вимірювання - безпосереднього порівняння цієї величини з одиницею вимірювання - відомою однорідною величиною, що відтворною або зберігається засобом вимірювання. У геодезичних приладах одиниці вимірювання зберігають робочі заходи - кругові шкали (лімби), штрихові шкали (рулетки, нівелірні рейки), генератори електромагнітних хвиль.

Значення фізичної величини, отримане у результаті вимірювання, називають результатом вимірювання. Результат прямого вимірювання виражається раціональним числом, зазвичай позитивним десятковим дробом. Майже всі прямі вимірювання включають прочитування з шкали - лінійною (при вимірюванні довжини рулеткою) або кругом (при вимірюванні магнітного азимута за допомогою компаса).

До прямих можна віднести різницевий спосіб вимірювань, коли вимірювана величина визначається по різниці результатів двох прямих вимірювань. Наприклад, значення горизонтального кута визначається як різниця відліків по лімбу при вимірюванні напрямів, складових кут; перевищення між двома крапками обчислюється як різниця відліків по рейках, встановлених в цих крапках, і ін.

У деяких геодезичних приладах використаний принцип непрямого визначення, коли значення вимірюваної величини виходить за допомогою математичного перетворення результату прямого вимірювання іншої величини, іноді неоднорідної вимірюваної. Наприклад, при імпульсному вимірюванні відстаней светодальномером вимірюється час проходження світлового променя від приладу до відбивача і назад, а потім використовується відома залежність між швидкістю розповсюдження електромагнітних хвиль, часом і відстанню. Часто для автоматизації обчислювального процесу використовується вбудована в засіб вимірювання ЕОМ.

Широке розповсюдження в геодезії отримало непряме визначення величини по функціональному зв'язку її з іншими величинами, що піддаються прямим вимірюванням. У такий спосіб визначають координати пунктів, об'єми відвалів і ін. Функції від зміряних величин можуть бути трансцендентними, тому результат непрямого визначення в загальному випадку виражається дійсним числом.

Загальновідомо, що будь-які вимірювання завжди неминуче супроводжуються помилками. Це обумовлюється недоліками наших органів відчуття, недосконалістю вимірювальних приладів та умовами вимірювань. Вимірювання можна розглядати з двох точок зору: кількісної (числове значення вимірювальної величини) та якісної (точність вимірювання). Точність пов'язана з величиною помилок. Відомо, що навіть при відсутності грубих помилок результати повторних вимірювань завжди відрізняються між собою. Це пояснюється тим, що будь-які вимірювання супроводжуються малими помилками, тобто завжди мають місце відхилення результатів вимірювання від вірогідних ("істинних") значень величин. Точність вимірювань оцінюють в тому випадку, коли одна i таж величина вимірювалась багаторазово i незалежно. Досягнену точність вимірювань можна визначити використовуючи теорію помилок вимірів. Вибір приладів для вимірів повинен бути таким, щоб раціональна точність дала можливість вирішити питання без необґрунтованих витрат часу, ресурсів, грошей (точні виміри - дорожчі).

Poзpiзняють три групи помилок вимірів:

1) грубі помилки одержують через прорахунки виконавця poбіт, i їx завжди уникають, контролюючи результати повторними вимірами;

2) систематичні помилки мають односторонні діючі причини, як наприклад, помилкова довжина рулетки або вплив температури, що впливають на кінцевий результат. Ці помилки значною мірою усуваються шляхом введення необхідних поправок та вибором методів;

3) випадкові помилки залишаються після усунення грубих та систематичних помилок вимірів. Ці помилки впливають випадковим чином на результати вимірів як з позитивного, так i з негативного боку.

Теорія помилок розглядає тільки випадкові помилки, які підкоряються ймовірним закономірностям.

Якщо для однієї величини відоме її дійсне значення X i якщо при однакових умовах виконаний ряд вимірів

l₁, l₂, l₃,…, l_n,

що вміщають тільки випадкові помилки, то істинні помилки

δ₁, δ₂, δ₃,.. δ_n,

будуть

Для характеристики точності вимірів використовують головним чином середню квадратичну помилку, яку обчислюють за формулою:

де квадратні дужки [ ] - означають символ складання введений Гауссом.

Середня квадратична помилка має саме велике використання i краще всіх характеризує якість ряду вимірів. Але істинного значення величини X нам дуже часто невідомо i тому його замінюють ймовірним значенням х, яка є простою арифметичною серединою:

Відхилення υ_і = x_i - l_i називають ймовірними помилками, а середню квадратичну помилку обчислюють за відхиленням від середнього арифметичного за формулою:

Середню квадратичну помилку т_x арифметичної середини iз ycix спостережень обчислюють за формулою: