Числовые хар-ки непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Примеры.

Х – нсв, f(x) – плотность распределения. Математическим ожиданием нсв Х, возможные значения кот принадлежат отрезку , назыв определенный интеграл. . Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то мат-ое ожидание находится по формуле: . Дисперсией нсв назыв мат-ое ожидание квадрата ее отклонения. , или . Если х принадлежат отрезку , то . Средним квадратичным отклонением назыв квадратный корень из дисперсии: . Пр:

. .

Модой дискретной случайной величины назыв ее наиболее вероятное значение. Для нсв мода – такое значение случайной величины, при кот плотность распределения имеет максимум. . Медианой случайной величины Х назыв такое ее значение, относительно кот равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины. .

Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа. Их числовые хар-ки. Примеры.

Распред. вер-тей назыв. Равномерным, если на интервале, кот принадлежат все возможные значения СВ, плотность распред. сохраняет постоянное знач. Пр: шкала измерительного прибора проградуирована некот.ед. Ошибку при округлении отсчета до ближ.целого деления м рассматривать как СВ Х, кот м принимать с постоянной плотностью вер-ти любое знач. м/у 2 соседними целыми делениями. Т.о., Х имеет равномерное распред. Найдем плотность равномерного распред f(x), считая, что все возможные знач.СВ заключ.в интервале(а,b), на кот функция f(x) сохраняет постоянные знач. По условию Х не принимает знач.вне интервала (а,b), поэтому f(x)=0 при x<a и x>b найдем постоянную С, т.к. все возможные знач.СВ принадлежат (а,b) то д выполниться соотношение или отсюда С=1/ /(b-a). Итак, f(x)=

Н ормальным назыв. распред.вер-тей нсв, кот описывается плотностью f(x)= где а - мат.ожидание, а σ-ср.квадратич.отклонение норм.распред. а)D(f(x))=(-∞;∞). б)Е(f(x))>0-график выше оси Ох. в)f’(x)= *1*2/2 (a-x)=-(x-а)/ * ,f’(x)=0 при х=а f(a)= . г)f”(x)= (1* +(x-a) *2(x-a))= *(x-(a+σ)) *(x-(a-σ)); f”(x)=0,при x=a+σ и x=a-σ - это точки перегиба

f(a-σ)=f(a+σ)= * = ;

Кривая Гаусса: очевидно, что изменения величины параметра а не влияет на форму кривой и приводит лишь к сдвигу ее вдоль оси Ох (вправо, если а больше и наоборот), с увеличением σ максимум ордиат норм.кривой убыв. И кривая становится более пологой, если σ уменьшается то происходит растяжение графика. Функция Гаусса:φ(х)= *

Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Отыскание интервала по заданной вероятности. Примеры.

Известно, что если СВ Х задана плотностью распределения F(x), то вер-ть того, что Х примет знач., принадлежащее интервалу (a,b) равна Р(α<X<β)= ,если СВ Х распределена по норм.закону, тогда вер-ть того, что Х примет знач., принадлежащее интервалу (α,β) равна , пользуясь функцией Лапласа Ф(х)= dz и окончательно получим Ф( )-Ф( ). Пр: СВ Х распределена по норм закону. Мат.ожидание и ср.квадратич.отклонение этой величины соответственно равны 30 и 60,найти вер-ть того, что Х примет знач., принадлежащее интервалу (10,50): α=10, β=50, а=30, σ=10 поэтому Ф( )-Ф( )=2Ф и по табл. Ф(2)=0,4772 отсюда = 2*0,4772=0,9544