Статическое определение вероятности.

Классическое определение вер-ти не всегда приемлемо, если рез-т испытания не равновозможный. Пр: при бросании игральной кости падение на грани неравновозможно. В таких случаях используют стат-ое определение вер-ти. Пусть произведено n испытаний, при этом событие А наступило m раз (m – абсолютная частота наступления события А, а - относительная частота). P*(A)= . При проведении серий из n испытаний, когда число n сравнительно мало, а P*(A) принимает значения, кот м довольно сильно отличаться друг от друга. Но с увеличением n относит-ая частота приближается к некоторому числу, стабилизируясь около него и принимая все более устойчивые значения. Вер-ть события А в данном испытании – число P(A), около кот группируются значения относительно частот при больших n.

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Примеры.

1. Вер-ть суммы 2 несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Док-во: n-общее число возможных элементарных исходов, m1-число исходов, благоприятствующих событию А, m2-число исходов, благоприятствующих событию В, Р(А+В)= = + , , =P(B),P(A+B)=P(A)+P(B). Следствие:1) справедливо д/любого конечного числа попарно несовместимых событий, 2) вер-ть суммы Р(А+ )=1 Пр: в урне 10 шаров (2 белых,3 красных,5 синих). Какова вер-ть вынуть цв.шар при однократном событии? А-кр., В-син, Р(А+В)= =0,8, P(A)+P(B)= + =0,8.

2. Вер-ть совместного появления 2 событий равна произведению вер-ти одного из них на условную вер-ть другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило Р(АВ)=Р(А)* (В). Док-во: (В)= , Р(АВ)=Р(А)* (В). Следствие: вер-ть совместного появления нескольких событий равна n произведению вер-ти одного из них на условные вер-ти всех остальных, причем вер-ть каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыд. события уже наступили. Пр: у сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вер-ть того, что 1-ый - конусный, а 2-ой - эллиптический: вер-ть, что 1-ый валик конусный (соб.А) Р(А)= , вер-ть,что 2-ой валик эллиптич.(соб.В), вычисленный в предположении, чт0 1-ый валик конусный (B)= , Р(АВ)=Р(А)* (В)= * = .

Зависимые события. Условная вероятность. Теорема умножения зависимых событий. Примеры.

Условной вер-тью (B)назыв вер-ть соб.В, вычисленную в предположении, что соб.А уже наступило (B)=Р(АВ)/Р(А),где Р(А)>0 тогда Р(АВ)=Р(А)* (B). Следствие: вер-тью совместимого появления нескольких событий равна произведению вер-ти одного из них на условные вер-ти всех остальных, причем вер-ть каждого послед. соб. вычисляется в предположении, что все предыд. соб. уже наступили: Р( ) = P( ) ( )… ( ), где ( ) - вер-ть соб. ,вычисленная в предположении, что события наступили, т.е. Р(АВС)=Р(А) (B) (C) Пр: В урне 3 белых и 3 черных шара, из нее вынимают дважды по одному шару, не возвращая обратно, найти вер-ть появления белого шара при втором испытании (соб.В) если при первом был извлечен черный шар (соб.А): после первого испытания в урне осталось 5 шаров и 3 из их белых: (B)= , вер-ть появления белого шара при первом испытании: P(A)= = , найдем вер-ть Р(АВ) того, что в 1-ом испытании появится черный шар, а во 2-ом белый, общее число исходов совместного появления 2-х шаров, безразлично какого цвета равно числу размещений =6*5=30, из этого числа исходов событию АВ благоприятствует 3*3=9 исходов, поэтому Р(АВ)= = , искомая усл.вер-ть (B)= = . Событие В назыв независимым от события А, если появление события А не изменяет вер-ти события В, т.е. если усл. вер-ть события В равна его безусловной вер-ти (B)=P(B), P(A)P(B)=P(B) , это означает,что св-во независимости взаимно. Д/независимых событий теорема умножения имеет вид Р(АВ)=Р(А)Р(В). Пр: найти вер-ть совместного поражения цели двумя орудиями, если вер-ть поражения цели 1-ым орудием (соб.А)=0,8, а 2-ым (соб.В)=0,7: соб. А и В независимые, поэтому, по теореме умножения Р(АВ)=Р(А)*Р(В)=0,7*0,8=0,56. Следствие: вер-ть совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности (т.е. независимы каждые 2 из них и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных) равна произведению вер-тей этих событий: P( … ) = P( )*P( )*…*P( )