Числовые хар-ки дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Примеры.

К ним относятся числа, кот описывают ее суммарно. Хотя эти числа дают случайной величине значительно меньше сведений, чем закон ее распределения, но д/решения ряда задач этих хар-к оказывается достаточно. Мат-ое ожидание – сумма произведений всех ее возможных значений на их вер-ти. Пусть случайная величина Х м принимать только значения , вер-ти кот соответственно . Тогда мат-ое ожидание М(Х) случайной величины Х определяется равенством М(Х)= . Или , где . М(Х) – величина постоянная. Замечание: мат-ое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вер-ти этого события М(Х)=1-р=р. Пр: найти мат-ое ожидание суммы числа очков, кот м выпасть при бросании двух игральных костей. Решение: Х – число очков, кот м выпасть на 1-ой кости, Y – на 2-ой. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1,2,3,4,5,6, причем вер-ть каждого из значений равна 1/6. Мат-ое ожидание числа очков, кот м выпасть на первой кости M(X)=1*(1/6)+ 2*(1/6)+ 3*(1/6)+ 4*(1/6)+ 5*(1/6)+ 6*(1/6)=7/2. M(Y)= 7/2. Искомое мат-ое ожидание равно М(X+Y)=M(X)+M(Y)= 7/2+7/2=7. Отклонение – разность м/у случайной величиной и ее мат-им ожиданием. Дисперсия случайной величины – мат-ое ожидание квадрата ее отклонения от ее мат-го ожидания: D(X) = M (X – M(X))².

X– M(X)					…
P						…

			…
P			…

.

Замечание: дисперсия величина постоянная.

Пр: найти дисперсию

X			4
P			0,1

М(Х)=1*0,5+3*0,4+4*0,1=2,1

= =1,21

= =0,81

= =3,61

D(X)= 1,21*0,5+0,81*0,4+3,61*0,1

Существует другой способ д/вычисления дисперсии. Теорема D(X) = M(X ²) – . Док-во: Используя то, что М(Х) – пост величина, и св-ва мат-го ожидания, преобразуем формулу к виду: D(X) = M(X – M(X))² = M(X² - 2X·M(X) + M²(X)) = M(X²) – 2M(X·M(X)) + M(M²(X)) =

= M(X²) – 2M²(X) + M²(X) = M(X²) – M²(X), что и требовалось доказать.

Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, назыв средним квадратическим отклонением.

Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Х назыв квадратный корень из дисперсии: .

Свойства математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание и дисперсия среднего значения. Примеры.

Св-ва мат-го ожидания: 1) М(С)=С, С – пост величина. 2) пост множитель м выносить за знак мат-го ожидания М(СХ)=С*М(С). 3) мат-ое ожидание суммы 2-х случайных величин равно сумме их мат-их ожиданий: М(X+Y)=M(X)+M(Y). 4) аналогична разность: М(X-Y)=M(X)-M(Y). Случайные величины X и Y назыв независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. 5) аналогично произведение: М(X*Y)=M(X)*M(Y). Замечание: свойства 3 и 5 справедливы д/любого числа случайных величин. Пр: найти мат-ое ожидание суммы числа очков, кот м выпасть при бросании двух игральных костей. Решение: Х – число очков, кот м выпасть на 1-ой кости, Y – на 2-ой. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1,2,3,4,5,6, причем вер-ть каждого из значений равна 1/6. Мат-ое ожидание числа очков, кот м выпасть на первой кости M(X)=1*(1/6)+ 2*(1/6)+ 3*(1/6)+ 4*(1/6)+ 5*(1/6)+ 6*(1/6)=7/2. M(Y)= 7/2. Искомое мат-ое ожидание равно М(X+Y)=M(X)+M(Y)= 7/2+7/2=7. 6) мат-ое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вер-ть появления события А в каждом испытании М(Х)=n*p. Свойства дисперсии: 1) дисперсия пост величины С равна нулю: D (C) = 0. Док-во: D(C) = M((C – M(C))²) = M((C – C)²) = M(0) = 0. 2) пост множитель м выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX) = C²D(X). Док-во: D(CX) = M((CX – CM(X))²) = M(C²(X – M(X))²) = C²M(X – M(X))² = C²D(X). Следствие: если |С|>1, то D(CX)>D(X); а если 0<|С|<1, то D(CX)<D(X). 3) дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X + Y) = D(X) + D(Y).

Доказательство. D(X + Y) = M(X² + 2XY + Y²) – (M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2M(X)M(Y) +

+ M(Y²) – M²(X) – 2M(X)M(Y) – M²(Y) = (M(X²) – M²(X)) + (M(Y²) – M²(Y)) = D(X) + D(Y). Следствие 1: дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Следствие 2: дисперсия суммы пост и случайной величин равна дисперсии случайной величины. 4) дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D(X – Y) = D(X) + D(Y). Док-во: D(X +(– Y)) = D(X) + D(-Y) = D(X) + D(Y). 5) дисперсия числа появлений события A в n повторных независимых испытаниях равно npq.