- •Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие. Классификация событий. Полная группа событий. Примеры.
- •Вероятность. Классическое определение вероятности. Использование формул комбинаторики. Примеры.
- •Статическое определение вероятности.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Формула Бернулли. Примеры.
- •Повторение независимых испытаний. Асимптотические формулы. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Примеры.
- •Дискретные случайные величины. Закон распределения. Полигон распределения. Примеры построения дискретной случайной величины.
- •Числовые хар-ки дискретной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. Примеры.
- •Свойства математического ожидания и дисперсии. Математическое ожидание и дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Непрерывная случайная величина. Функции распределения. Плотность вероятностей. Их свойства. Вероятность попадания в заданный интервал. Примеры.
- •Числовые хар-ки непрерывной случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода, медиана. Примеры.
- •Равномерное распределение. Нормальное распределение. Функции Гаусса и Лапласа. Их числовые хар-ки. Примеры.
- •Вероятность попадания в заданный интервал нормально распределенной случайной величины. Отыскание интервала по заданной вероятности. Примеры.
- •Понятие о центральной предельной теореме Ляпунова.
- •Понятие о случайном процессе. Система массового обслуживания как случайный процесс.
- •Случайный процесс со счетным множеством состояний. Виды. Система массового обслуживания с необратимыми и обратимыми переходами состояний.
- •Поток событий. Простейший поток и его свойства. Виды потоков событий.
- •Марковский случайный процесс.
- •Понятие о методе Монте-Карло.
- •Математическая статистика. Генеральная и выборочная совокупности. Репрезентативность выборки. Вариационные ряды. Полигон и гистограмма. Примеры.
- •Оценка числовых хар-к. Состоятельность, несмещенность и эффективность оценок. Оценка математического ожидания. Примеры.
- •Выборочная и исправленная дисперсии. Другие хар-ки вариации данных. Исправленная дисперсия среднего значения. Примеры.
- •Интервальные оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания. Распределение Стьюдента.
- •Статистическая, корреляционная и функциональная зависимости. Уравнения регрессии. Примеры.
- •Коэффициент корреляции и его свойства. Нахождение уравнений регрессии по корреляционной таблице. Примеры.
Повторение независимых испытаний. Асимптотические формулы. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Примеры.
Чтобы избежать громоздких вычислений, используют лок.теорему Лапласа, кот. позволяет приближенно вычислить вер-ть события k раз в n независимых испытаниях с помощью ассимптотич.формул: =1. Лок.теорема: Если вер-ть р появления соб.А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1,то вер-ть (k) того, что соб.А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна значению функции: y= * * = *φ(x), при х = . Итак, вер-ть того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна (k) ≈ *φ(x), где х = . Пр: вер-ть поражения мишени стрелком при одном выстреле равна р=0,75,найти вер-ть того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз: по условию – n=10, k=8, p=0,75, q=0,25, по формуле Лапласа: = =0,36, по табл.φ(0,36)=0,3739, поэтому =0,7301*0,3739=0,273. Интегральная теорема Лапласа: если вер-ть p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1,то вер-ть Рn( , )того,что соб.А появится в n испытаниях от до k2 раз, приближенно равна опред.интегралу ( , )= dz, где x'= и x''= . Пр: вер-ть того, что деталь не прошла проверку равна p=0,2, найти вер-ть того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100: по условию p=0,2, q=0,8, n=400, =70, =100 по инт.теореме Лапласа: , = = =-1,25, = = =2,5. Т.о., (70,100)=Ф(2,5)-Ф(-1,25)=Ф(2,5)+Ф(1,25) по табл. Ф(2,5)=0,4938, Ф(1,25)=0,3944 и ответ: (70,100)=0,4938+0,3944=0,8882
Дискретные случайные величины. Закон распределения. Полигон распределения. Примеры построения дискретной случайной величины.
ДСВ - СВ, кот принимает отдельное изолированное возможное с опред. вер-тями, число возможных значений. ДСВ м.б. конечным или бесконечным. В задании ДСВ требутся перечислить не только всевозможные значения, но и указать их вер-ть, т.к. СВ м иметь одинаковые списки возможных значений, у кот вер-ти различны. Законом распределения ДСВ назыв соответствие м/у возможными значениями и их вер-тями. При табличном задании закона распределения ДСВ 1-ая строка - возможные значения, а 2-ая-их вер-ти:
Х |
|
|
… |
|
р |
|
|
… |
|
Х |
50 |
10 |
0 |
р |
0,01 |
0,1 |
0,89 |
Х |
0 |
1 |
2 |
… |
k |
… |
n |
Р |
|
np |
|
… |
|
… |
|
Х |
2 |
1 |
0 |
Р |
0,25 |
0,5 |
0,25 |