Биномиальное распределение. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение. Их числовые хар-ки. Примеры.

Биномиальное распределение. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из кот событие А м появляться либо не появляться. Вер-ть наступления события во всех испытаниях постоянная и равна p (следовательно, вер-ть не появления q=1-p). Х – число появлений события А в этих испытаниях. Найти закон распределения величины Х. Событие А в n испытаниях м либо не появляться, либо появиться 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Т.о. возможные значения X такие: . Чтобы найти вер-ти этих возможных значений, д/чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли. , где k=0,1,2,…, n. Биномиальным назыв распределение вер-тей, определяемое формулой Бернулли. Закон назван биномиальным потому, что правую часть равенства м рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона: . Пр: вер-ть выигрыша по 1 билету лотереи =0,2. Какова вер-ть того, что из 6 билетов 2 выигрышные. Решение: Событие А – выигрышный билет, p=0,2, q=0,8. . Распределение Пуассона. Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из кот вер-ть появления события А равна p (следовательно, вер-ть не появления q=1-p). Х – число появлений события А в этих испытаниях. Д/определения вер-ти k появлений события в этих испытаниях используют формулу Бернулли. Если вер-ть события мала ( ), а n велико, используют асимптотическую формулу Пуассона. . Т.к. np=λ, то p=λ/n, тогда: . А т.к. n имеет очень большое значение, вместо подставим . Итак, . Т.о. . Эта формула выражает закон распределения Пуассона вер-тей массовых (n велико) и редких (p мало) событий. Пр: Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вер-ть того, что в пути изделие повредиться, равно 0,0002. Найти вер-ть того, что на базу прибудут 3 негодных изделия. Решение: n=5000, p=0,0002, k=3. Найдем : . По формуле Пуассона искомая вер-ть приближенно равна . . Геометрическое распределение. Пусть производится независимые испытания, в каждом из кот вер-ть появления события А равна p (0<p<1) и вер-ть его не появления q=1-p. Испытание заканчиваются, как только появится событие А. Т.о., если событие А появилось в k-м испытании, то предшествующих k-1 испытаниях оно не появлялось. Дискретная случайная величина Х – число испытаний, кот нужно провести до первого появления события А. Возможными значениями Х явл натуральные числа: Пусть в первых k-1 испытаниях событие А не наступило, а в k-ом испытании появилось. Вер-ть этого «сложного события», по теореме умножения вер-тей независимых событий, , где k=1,2,… Отсюда получаем геометрическую прогрессию с первым членом p и знаменателем q (0<q<1): Поэтому распределение назыв геометрическим. Пр: Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вер-ть попадания в цель равна 0,6. Найти вер-ть того, что попадание произойдет при третьем выстреле. Решение: p=0,6, q=0,4, k=3. Искомая вер-ть по формула