Джон Непер и его палочки

Я всегда старался, насколько позволяли мои силы

и способности, избавиться от трудности и скуки

вычислений, докучливость которых обыкновенно

отпугивает очень многих от изучения математики.

Д. Непер (1550 – 1617)

Начало XVII столетия знаменуются двумя замечательными достижениями инструментального счета. Оба они связаны, одно непосредственно, а другое косвенно, с именем великого шотландского ученого Джона Непера и направлены на то, чтобы упростить выполнение операций умножения и деления.

Понятно, какое значение имело изобретение логарифмов. Великий физик, математик и астроном И. Кеплер писал тюбингемскому профессору математики Вильгельму Шиккарду: «…Некий шотландский барон, имени которого я не запомнил, выступил с блестящим достижением; он каждую задачу на умножение и деление превращает в чистое сложение и вычитание…». Этим шотландским бароном был Джон Непер, опубликовавший в 1614 году свой знаменитый трактат «Mirifici logarithmorum canonis descriptio» (Описание удивительных таблиц логарифмов).

Джон Непер родился в 1550 году в фамильном замке Мэрчистон, близ Эдинбкрга, столицы Шотландии. В юности он отличался нелюдимым и застенчивым характером и не слишком крепким здоровьем. В 1563 году Джон поступает в колледж святого Спасителя в Сент Эндрюсе, где изучает грамматику, логику, теологию, каноническое и гражданское право, а также этику, физику и математику. С целью продолжения образования он проводит в Европе несколько лет – с 1566 по 1571год. В1572 году Джон Непер женился на Элизабет Стирлинг, которая умерла, оставив ему сына и дочь. Второй брак с Агнесс Чизхольм, дочерью крупного шотландского землевладельца, принес дому Неперов 5 сыновей и 5 дочерей.

Большую часть своей жизни Непер провел в размышлениях и научных изысканиях, преимущественно в области математики. Но наиболее выдающимся своим трудом он считал книгу «Простое откровение св. Иоанна», вышедшую в 1593 году. В книге Непер, прибегая к числовой мистике, «научно» доказывает, что папа – антихрист, что Рим является Содомом и Гоморрой, что саранча, о которой говорится в Апокалипсисе, означает турок, и что конец мира наступит между 1688 и 1700 годами и т. д.

С особым удовольствием Непер занимался вопросами сельского хозяйства, изобрел несколько полезных сельскохозяйственных орудий, таких как гидравлический насос для поливки сада

Впрочем, Непер изобретал орудия и пострашней. Во время войны с Испанией он написал докладную записку, в которой описывал секретные изобретения следующего рода:

-зеркало для поджигания вражеских кораблей на расстоянии;

-устройство для плавания под водой с различными хитрыми приспособлениями для внезапного нападения на врага (подводная лодка?);

-металлическую колесницу, легко и быстро движимую находящимися внутри воинами, которые поражали врага через маленькие отверстия в корпусе колесницы (танк?);

-и, наконец, пушку, выстрел которой гарантировал гибель не менее 30 000 турок, а «христианам при этом никакого вреда не наносил» (истинно христианское оружие!)

Достойными гения Непера были лишь его математические работы.

Непер занимался наукой исключительно ради удовлетворения природной жажды знаний и неохотно отдавал свои труды в распоряжение печатного станка. Поэтому знаменитый трактат о логарифмах был напечатан только в 1614 году, хотя по многим свидетельствам Непер пришел к идее логарифма на 20 лет раньше, а первое математическое сочинение Непера «De arte logistica», посвященное некоторым вопросам тригонометрии, алгебры и арифметики, вышло в свет лишь в 1839 году.

В 16717 году, незадолго до смерти Непера, увидело свет его последнее сочинение «Rabdolodie seu numerationis, per virgulas labriduo». В предисловии он, как бы извиняясь, говорит, что публикует книгу лишь по настоянию друзей. Значение термина rabdologie (от греческого Ραβδοσ – палка, прут) Непер объясняет как счет с помощью палочек. Эти палочки под названием «палочки Непера», как и сам метод, быстро получили широкое распространение в Европе и были одно время даже более популярны, чем логарифмы – главное изобретение Непера.

Непер, вероятно, был знаком с приемом умножения, описанным в известном средневековом трактате Луки Пачоли «Сумма де арифметика» под названием gelosia (этот прием был знаком индийцам задолго до Пачоли). Суть его в следующем. Счетную доску или просто лист чистой бумаги расчерчивали в виде сетки прямоугольников, разделенных диагоналями. По сторонам сетки (сверху и справа) записывали сомножители, а промежуточные произведения помещали в прямоугольники так, чтобы диагональ разделяла «единицы» и «десятки» (обычно, «десятки» помещались в верхний треугольник, а «единицы» -- в нижний).).

В качестве примера на рисунке 2 показано выполнение методом gelosia умножения 954 314 = 299 556

Верхняя строка таблицы – промежуточное произведение 9543;

средняя строка – промежуточное произведение 9541;

нижняя строка – промежуточное произведение 9544.

Для получения произведения осуществляли суммирование «вдоль диагоналей», а результат записывали снизу сетки (младшие разряды) и слева от сетки (старшие разряды

Цифры шести разрядов произведения 945314 получаются следующим образом:

2; (0+7+1); (3+9+0+5+1); (6+2+5+0+2); (0+1+4); 6

или 2, 8, (18), (15), 5, 6

или 2. 8+1=9; 8+1=9; 5; 5; 6

т. е. 299 556

	9	5	4
2	2 7	1 5	1 2	3
9	0 9	0 5	0 4	1
9	3 6	2 0	1 6	4
	5	5	6

Рис. 2

По мнению Пачоли, запись выкладок при этом методе напоминает решетчатые оконные ставни, скрывающие от взоров прохожих сидящих у окон женщин. Такие ставни называли gelosia (жалюзи) в связи с другим значением этого слова – ревность.

Непер предложил разрезать «школьную» таблицу умножения на 10 полосок (включая и нулевую) и разделить числа диагональю на единицы и десятки, как в gelosia. Полоски наклеивались на деревянные палочки и использовались следующим образом (рис. 3).

2		0		8		5		1		Брали палочки для цифр 2, 0, 8, и 5 и еще одну – единичную. Палочки прикладывали друг к другу так, так как показано на рис. 3, и против цифры 4 единичной палочки искали произведение 4 на цифры 2, 0, 8, и 5, из которых составлено множимое. Суммируя числа как в gelosia, получаем: 20854 = 8; (0+3); (2=2); 0 или 8340.
4		0		1 6		1 0		2
6		0		2 4		1 5		3
8		0		3 2		2 0		4
1 0		0		4 0		2 5		5
1 2		0		4 8		3 0		6
1 4		0		5 6		3 5		7
1 6		0		6 4		4 0		8
1 8		0		7 2		4 5		9

Рис. 3

Если множитель многозначный, то отдельные произведения выписывали как обычно, со смешением на один разряд, а затем складывали. Для множимого, содержавшего несколько одинаковых цифр, приходилось иметь несколько одинаковых палочек. Поэтому Непер предложил выполнять палочки в виде прямоугольных параллелепипедов и наклеивать на них не одну, а 4 полоски (по одной на каждую грань) таким образом, чтобы первая палочка содержала полоски для 0, 1, 9, 8; вторая – для 0, 2, 9, 7; третья – для 0, 3, 9 и 6 и т. д. вплоть до 10-й, содержавшей полоски для 3, 4, 6 и 5.

Таким образом каждая палочка имела на противоположных гранях полоски для некоторой цифры и ее дополнения до 9.

С помощью палочек Непера можно было выполнять не только операции умножения, но и деления и извлечения квадратного корня.

Пожалуй, ни одна идея в истории вычислительной техники не дала столько пищи изобретательным умам, как идея палочек Непера.

В XVI и XVII столетиях в Европе появилось множество модификаций палочек Непера. В 1668 году вюртембергский иезуит Каспар Шотт предложил заменить палочки Непера цилиндрами, на поверхности которых вдоль образующих нанесены числа с палочек Непера. Цилиндры помещались параллельно друг другу в ящичке, где могли вращаться на проходящих через них осях. В 1678 году Пьер Пти, французский математик и физик, друг Паскаля, наклеил полоски бумаги с начерченными «палочками» на картонные ленты и заставил их двигаться вдоль оси цилиндра. Устройство получило название барабана Пти. В 1927 году замечательный немецкий механик и энциклопедист Якоб Лейпольд видоизменил барабан Пти, придав ему прямоугольную форму. Год спустя Михаил Фортиус предложил свой прибор, состоявший из ряда подвижных концентрических кругов все с теми же надписями.

Этот список можно было бы продолжить, но мы упомянем одну из последних переработок. Это «Настольная таблица умножения для сложных вычислений, по Неперу переработал Б. Ф. Тихомиров», изданная в Ленинграде в 1930 году

Изобретение логарифмов, которое по словам Лапласа, «сократив труды астронома, удвоило его жизнь», послужило основой для изобретения замечательного вычислительного инструмента, более 350 лет служившего инженерам всего мира, -- логарифмической линейки.