Начала инструментального счёта

Счёт, или более широко вычисления, могут быть выполнены в различной форме: существует устный, письменный и инструментальный счёт (вычисления). Средства для инструментального счёта в разные времена называли по-разному: счётные доски, абаки, счёты, счётные инструменты, снаряды, приспособления, приборы, машины и, наконец, примерно с середины нашего столетия – вычислительные машины.

Рассмотрим краткую историю развития средств инструментальных вычислений; как говорил Г. В. Лейбниц, «Кто хочет ограничиться настоящим без знания прошлого, тот никогда не поймёт его».

Древнейшим «счётным инструментом», который сама природа предоставила в распоряжение человека, была его собственная рука. «Понятие числа и фигуры, - пишет Ф. Энгельс, - взято не откуда-нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать (производить первую арифметическую операцию), представляют собой все, что угодно, только не продукт свободного творческого разума».

От пальцевого счёта берут начало пятеричная система счисления (одна рука), десятичная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног). В гомеровской «Одиссее» часто встречается слово «пятерить», имеющее по смыслу значение «считать» и свидетельствующее о распространении в гомеровскую эпоху пальцевого счёта.

Полное описание пальцевого счёта составил в средневековой Европе ирландский монах Беда Достопочтенный (около 673-735 гг.). Среди его трудов есть трактат «О счислении». В нём подробно излагаются способы счёта на пальцах, причём этот счёт распространялся на все числа вплоть до миллиона. Трактат Беды явился источником, откуда средневековые составители учебников арифметики в течение многих лет черпали свои сведения о пальцевом счёте. Наряду со способами простого подсчёта на пальцах отдельных предметов в этих учебниках излагаются сведения о выполнении арифметических операций с помощью пальцев рук.

Издревле употреблялся ещё один вид инструментального счёта – с помощью деревянных палочек (бирок) с зарубками. Впервые упоминание о способе записи чисел путём нанесения зарубок встречается на барельефе храма фараона Сети I (1350 г. до н.э.) в Абидосе. Здесь изображён бог Тот, отмечающий с помощью зарубок на пальмовой ветви длительность срока правления фараона. В средние века в России, как и в остальной Европе, бирками пользовались для учёта и сбора налога. Бирка разрезалась на две продольные части, одна из которых оставалась у крестьянина, другая – у сборщика налогов. По зарубкам на обеих частях и вёлся счёт уплаты налога, который проверяли складыванием частей бирки. В Англии, например, этот способ записи налогов существовал до конца XVII столетия.

Другие народы (китайцы, индийцы, американские индейцы) использовали для представления чисел верёвки с узелками.

Абак, Суан-пан, Счеты…

Раннему развитию письменного счёта препятствовали два обстоятельства. Во-первых, в первоначальных системах счисления письменные вычисления были сложными. Чтобы убедиться в этом, советуем перемножить CLVI x LXXIV, пользуясь римской системой счисления. Во-вторых, не было материала, на котором удобно производить письменные вычисления: пергамент был изобретён лишь в V веке до н.э., бумага – в начале нашей эры.

Этими обстоятельствами можно объяснить появление специального счётного прибора, известного в древности под названием абака. Происхождение термина абак не установлено. Большинство историков производят его от семитического корня; согласно этому толкованию абак означает дощечку, покрытую слоем пыли. В своей примитивной форме абак действительно представлял собой такую дощечку. На ней острой палочкой проводили линии, и в получившихся колонках по позиционному принципу размещали какие-нибудь предметы, например камешки или палочки.

Впоследствии абак претерпел ряд изменений. В результате замены камешков косточками или шариками, нанизанными на нити или прутья, получили счёты, суан-пан, соробан; в других странах стали использовать разлинованную таблицу со счётными жетонами (счёт на линиях); всё это – разновидности абака.

Посмотрим, как выполняются арифметические операции на абаке при десятичной системе счисления. На рисунке 1 показана последовательность выполнения сложения 258 + 54. Вычитание выполняется изъятием камешков, умножение – как повторное сложение, деление – как повторное вычитание.

























































































































2 5 8 2 10 12 2 11 2 3 1 2

Рис. 1

Известно свидетельство историка Геродота (Vвек до н.э.), что египтяне пользуются абаком, причём в отличие от греков передвигают камешки не слева направо, а сверху вниз. Отсюда видно, что даже в эпоху Геродота и в Греции, и в Египте абак получил широкое распространение. Историки полагают, что в Грецию абак был завезен финикийцами и стал там «походным инструментом» греческого купца. О коммерческом назначении абака свидетельствует то обстоятельство, что значения, приписываемые камешками в различных колонках, обычно сообразовывались с отношениями различных денежных единиц.

В Древнем Риме абак назывался calculi или abaculi. Римский абак изготовляли из камня, бронзы, слоновой кости или цветного стекла. Слово calculus означает «галька», «голыш». От этого слова произошло в дальнейшем латинское calculatore (вычислять) calculus (исчисление) и наше – калькуляция. Сохранился бронзовый римский абак, на котором calculi передвигались в вертикально прорезанных желобках. Внизу помещали камешки для счёта до пяти, а верхней части имелось отделение для камешка, соответствующего пятёрке.

В китайской книге VI века нашей эры описан прибор, состоящий из укреплённых на доске параллельных верёвок, на каждой из которых надето 5 косточек, причём последняя имеет другой цвет и означает 5 единиц – китайская разновидность абака, суан-пан. Современный тип суан-пана появился не раньше XII столетия. Две части, на которые он делится перегородкой, носят названия «земля» и «небо». Шарик «земли» означает единицу, а шарик «неба» - 5 единиц.

Японский соробан происходит от китайского суан-пана, который был завезен в Японию в XV-XVI веках. Соробан проще своего предшественника – на каждой проволочке и в каждом отделении у него на один шарик меньше, чем у суан-пана.

Русские счёты в своей первоначальной форме появились примерно на рубеже XVI-XVII веков.

Инструменты, о которых мы только что говорили, являются национальными и широко используются в своих странах до сих пор. Опытные счетоводы работают на этих инструментах со скорость, не уступающей скорости вычислений на настольных счётных машинах.

В средневековой Европе распространение получили два типа абака. Один из них описал в своей книге французский учёный монах Герберт, немало сделавший для развития науки в мрачный период средневековья.

Герберт занимался астрономией, логикой, философией и геометрией; он является автором нескольких математических сочинений, одно из которых «Правила вычисления с помощью абака», теологических трактатов и публицистических посланий.

В описании Герберта абак представлял собой гладкую доску, посыпанную голубым песком и разделённую на 30 столбцов, из которых три отводились для дробей, а прочие группировались по три столбца в девять групп. Сверху в каждой группе обозначались (слева направо) буквами С (centum, 100),D (decem, 10) и S (singularis, 1) соответственно. В отличие от древних форм счётной доски в каждый столбец клали не камешки, а особые нумерованные жетоны (сделанные из рога) – «апексы», на которых были обозначены девять первых числовых знаков. Апекс с изображением нуля отсутствовал, поэтому для изображения нуля в соответствующий столбец жетона не клали. Таким образом, 27-рзрядное целое число на абаке представлялось как бы сгруппированным по три разряда.

Замена камешков апексами не давала больших преимуществ для вычислений. Апексы имели иное значение в развитии математики: в них можно видеть ближайших предков современных европейских цифр. Значение книги Герберта состоит не только и не столько том, что он дал правила вычисления на абаке, которые несколько веков «питали» европейскую арифметическую культуру.

Другой тип абака получил распространение с конца XV века. Он представляет собой горизонтальную разлинованную таблицу, на которой выкладываются специальные жетоны. Горизонтальные линии таблицы соответствуют единицам, десяткам, сотням и т.д. На каждую линию кладут до четырёх жетонов; жетон, помещённый между двумя линиями, означал пять единиц разряда ближайшей нижней. В вертикальном направлении доска расчерчивалась на несколько столбцов для отдельных слагаемых или множителей.

Счётные таблицы употреблялись до конца XVIII века. В Нюрнберге, например, в XVI-XVII веках изготовлением металлических счётных жетонов занималась целая отрасль промышленности. Счётные таблицы отличались большим разнообразием, начиная от специальных столов и кончая платками и ковриками.

Цифры на апексах были первым появлением арабско-индийских цифр в Европе. Первой книгой по арифметике, в которой эти цифры употреблялись уже систематически, была ''Liber abaci" Леонардо Фибоначчи из Пизы, впервые изданная в 1202 году. Начиная с неё, новые цифры постепенно получали все более широкое распространение, проникая в счетоводство торговых домов.

В XV веке разгорелась борьба между сторонниками счёта на абаке (абацистами) и сторонниками счёта на линиях (алгоритмиками), который под воздействием использования арабско-индийских цифр быстро стал развиваться в сторону современных алгоритмов письменного счёта. Не удивительно поэтому, что широкое распространение бумаги, изобретённой в XII-XIII веках, сделало ненужным абак и обеспечило победу «алгоритмиков», хотя борьба продолжалась ещё несколько веков.