2.4. Насыщенное и ненасыщенное планирование.

Пусть матрица планирования X имеет ранг, равный числу p неизвестных параметров в функции отклика. Факторный план называется насыщенным, если p  N, и ненасыщенным, если p < N.

Пусть даны функция отклика , матрица плана и вектор-столбец наблюдений . Выяснить является планирование насыщенным или не насыщенным.

423. , , .

424. , , .

425. , , .

426. , , .

427. , , .

428. , , .

429. , , .

2.5. Факторные эксперименты с повторными наблюдениями. При проведении экспериментальных исследований часто применяются факторные эксперименты.

Пусть – функция отклика и задан план, матрица которого есть (i  1, 2, ..., k; u  1, 2, ..., N), где – значение переменной (фактора) в u‑м опыте. Каждое из различных значений, принимаемых переменной в эксперименте, называют уровнем этой переменной. Обозначим через s_i число различных уровней фактора X_i.

Эксперимент, в котором уровни каждого фактора комбинируются со всеми уровнями других факторов, называется полным факторным экспериментом.

Полный факторный эксперимент состоит из различных экспериментов, поэтому его называют экспериментом типа .

План называется симметричным, если все факторы имеют одинаковое число уровней, т. е. В этом случае полный факторный эксперимент принято называть экспериментом типа s^k, где k – число факторов.

Предположим, что число различных значений, которые может принимать переменная , в каждом опыте равно 2, т. е. s  2. Тогда говорят, что переменная в каждом опыте варьируется на двух уровнях. Обозначим эти уровни через и . Если , то называют верхним уровнем, а – нижним уровнем фактора .

Обозначим , и введем новые переменные

(i  1, 2, ..., k).

Переменные x_i называют кодированными переменными. Легко проверить, что они могут принимать лишь два значения 1 (верхний уровень) и –1 (нижний уровень). Заменяя переменные кодированными переменными , можно представить функцию отклика в виде .

Имеем равенство S₀  S₁ + S₂, где обозначено , , .

Случайная величина может быть использована для проверки гипотезы H₀ о том, что некоторый параметр функции отклика равен 0. Действительно, если эта гипотеза верна, то получаем

,

причем эта случайная величина должна распределяться по закону Стьюдента с N – p степенями свободы. При альтернативной гипотезе H_A: критическая область является двусторонней. Найдем для заданного уровня значимости  и числа степеней свободы N – p по таблице 4 правую критическую точку . Тогда имеем следующие возможности: , в этом случае нет оснований отвергать гипотезу H₀; если же , то гипотеза H₀ отвергается.

Если эти суммы получены при условии, что – МНК-оценка вектора β параметров функции отклика, введем в рассмотрение следующие величины

, , .

Случайная величина распределена по закону Стьюдента с N – p степенями свободы. Эта случайная величина может быть использована для проверки гипотезы H₀ о том, что некоторый параметр функции отклика равен 0. Действительно, если эта гипотеза верна, то получаем

,

причем эта случайная величина должна распределяться по закону Стьюдента с N – p степенями свободы. При альтернативной гипотезе H_A: критическая область является двусторонней. Найдем для заданного уровня значимости  и числа степеней свободы N – p по таблице 4 правую критическую точку . Тогда имеем следующие возможности: , в этом случае гипотеза H₀ принимается, в этом случае говорят, что коэффициент являются незначимым. Если же , то гипотеза H₀ отвергается, в этом случае говорят, что коэффициент являются значимым.

Пусть определенная в области G функция отклика

неизвестна, т. е. неизвестны функции и параметры _j, и задан спектр плана: ; , где . Если – повторные наблюдения в точке x_i (i  1, 2, ..., n), то матрица плана имеет вид , где – матрица размера , строки которой одинаковы, и – вектор-столбец наблюдений в точке x_i, соответствующий матрице (это соответствие показано стрелками).

Положим , где – заданные функции.

Гипотезу H₀ о том, что при всех xG выполняется равенство , называют гипотезой адекватности регрессионной модели или функции отклика. Она проверяется при альтернативной гипотезе H_А: .

Если гипотеза H₀ верна, то МНК-оценка функции отклика равна

.

Рассмотрим суммы , , где .

Обозначим , .

Если основная гипотеза верна, то случайная величина

имеет распределение Фишера с и N – n степенями свободы.

Вычислив и найдя по таблице распределения Фишера по уровню значимости  и степеням свободы n – p₀ и N – n , получаем следующие возможности:

, в этом случае нет оснований отвергать основную гипотезу;

, тогда основную гипотезу отвергаем.

Если гипотеза H₀ отвергается, данная модель считается неадекватной и приходится выбирать другую модель. Выбор новой модели зависит от характера задачи, стоящей перед исследователем. Может возникнуть необходимость в проведении дополнительных наблюдений для проверки новой гипотезы.

421. Пусть прочность зависит бетона R от двух факторов – расхода цемента X₁ и расхода воды X₂. Предполагаемый вид зависимости имеет вид: . Полный двухфакторный эксперимент проводится на двух уровнях:

Уровень	Расход цемента X1	Расход воды X2
Нижний	270	155
Верхний	370	185

Результаты исследований представлены таблицей.

i
1	28,6	31,1	29,5	29,7
2	44,3	47,8	46,2	46,1
3	22,9	24,6	21,9	23,1
4	38,7	38,7	35,3	36,7

Найти основной уровень и интервал варьирования. Построить полный факторный эксперимент типа 2² в кодированных переменных, найти функцию отклика вида = ₀ +₁x₁ +₂x₂. Определить какие из коэффициентов функции отклика являются значимыми. Выяснить является ли полученная функция отклика адекватной. Перейти к натуральным переменным.

Решение. Для нахождения МНК-оценок параметров ортогонального плана пользуются расчетной таблицей.

i
1	– 1	– 1	29,7	– 29,7	– 29,7
2	1	– 1	46,1	46,1	– 46,1
3	– 1	1	23,1	– 23,1	23,1
4	1	1	36,7	36,7	36,7

С помощью расчетной таблицы получаем требуемые оценки:

; ; .

Отсюда оценка функции отклика – , или, переходя к исходным переменным, .

Выясним, какие из коэффициентов значимы, для этого сначала вычислим сумму . Так как , , , , то = 3,24 + 0,49 + 0,81 + 1,21 + 5,76 +0,64 + 0,25 + 4,84 + 0,25 + +1,69 + 1,69 + 4,41 = 25,28.

Далее вычислим дисперсию = , откуда .

Так как , и, значит , где , = 2,306, тогда = 2,052.

коэффициент 33,9 > 2,052 значим;

коэффициент = 7,5 > 2,052 значим;

коэффициент = 4,0 > 2,052 значим.

Окончательно получаем, что функция отклика имеет вид:

Проверим, является ли полученная модель адекватной. Имеем N  12, n  4, m  3, r  3. По формулам

Следовательно, . Далее по таблице критических точек распределения Фишера по уровню значимости a  0,05 и степеням свободы n – r  1 и N – n  8 находим . Так как , то гипотеза, утверждающая, что модель адекватна, принимается.

431. Предположим, что зависимость жесткости бетонной смеси Ж от двух факторов – водоцементного отношения X₁ и расхода цемента X₂ – имеет вид: . Полный двухфакторный эксперимент проводится на двух уровнях:

Уровень	X1	X2
Нижний	0,61	200
Верхний	0,79	405

Результаты исследований представлены таблицей.

N
1	5	9	11
2	12	9	6
3	20	19	5
4	15	6	18

Найти основной уровень и интервал варьирования. Построить полный факторный эксперимент типа 2² в кодированных переменных, найти функцию отклика вида = ₀ +₁x₁ +₂x₂. Определить какие из коэффициентов функции отклика являются значимыми. Выяснить является ли полученная функция отклика адекватной. Перейти к натуральным переменным.

432. Предположим, что зависимость прочности тяжелого бетона в возрасте 3-х суток P от двух факторов – водоцементного отношения X₁ и плотности X₂ – имеет вид: . Полный двухфакторный эксперимент проводится на двух уровнях:

Уровень	X1	X2
Нижний	0,3	1800
Верхний	0,6	2500

Результаты исследований представлены таблицей.

i
1	28,6	31,1	29,5
2	44,3	47,8	46,2
3	22,9	24,6	21,9
4	38,7	38,7	35,3

Найти основной уровень и интервал варьирования. Построить полный факторный эксперимент типа 2² в кодированных переменных, найти функцию отклика вида = ₀ +₁x₁ +₂x₂. Определить какие из коэффициентов функции отклика являются значимыми. Выяснить является ли полученная функция отклика адекватной. Перейти к натуральным переменным.

433.Предположим, что зависимость предела текучести y от содержания углерода X₁ и содержания кремния в стали М74 X₂ – имеет вид: . Полный двухфакторный эксперимент проводится на двух уровнях:

Уровень	X1	X2
Нижний	0,72	0,28
Верхний	0,82	0,32

Результаты исследований представлены таблицей.

i	y1	y2	y3
1	667	669	665
2	589	592	595
3	647	643	649
4	598	594	593

Найти основной уровень и интервал варьирования. Построить полный факторный эксперимент типа 2² в кодированных переменных, найти функцию отклика вида = ₀ +₁x₁ +₂x₂. Определить какие из коэффициентов функции отклика являются значимыми. Выяснить является ли полученная функция отклика адекватной. Перейти к натуральным переменным.

434. Предположим, что зависимость прочности бетона R от двух факторов – расхода цемента X₁ и расхода песка X₂ – имеет вид: . Полный двухфакторный эксперимент проводится на двух уровнях:

Уровень	X1	X2
Нижний	270	155
Верхний	370	185

Результаты исследований представлены таблицей.

i
1	26,7	30,2	28,3
2	42,1	43,2	40,1
3	35,6	37,8	38,1
4	23,4	25,6	24,4

Найти основной уровень и интервал варьирования. Построить полный факторный эксперимент типа 2² в кодированных переменных, найти функцию отклика вида = ₀ +₁x₁ +₂x₂. Определить какие из коэффициентов функции отклика являются значимыми. Выяснить является ли полученная функция отклика адекватной. Перейти к натуральным переменным.

435. Предположим, что зависимость осадки конуса y от двух факторов – водоцементного отношения X₁ и расхода воды на 1 бетона X₂ – имеет вид: . Полный двухфакторный эксперимент проводится на двух уровнях:

Уровень	X1	X2
Нижний	270	155
Верхний	370	185

Результаты исследований представлены таблицей.

i	y1	y2	y3
1	1	2	3
2	4	1	3
3	2	4	5
4	2	3	5

Найти основной уровень и интервал варьирования. Построить полный факторный эксперимент типа 2² в кодированных переменных, найти функцию отклика вида = ₀ +₁x₁ +₂x₂. Определить какие из коэффициентов функции отклика являются значимыми. Выяснить является ли полученная функция отклика адекватной. Перейти к натуральным переменным.

В следующих задачах двухфакторный эксперимент проводится на 2-х уровнях, данные наблюдений представлены таблицей. Найти основной уровень и интервал варьирования. Построить полный факторный эксперимент типа 2² в кодированных переменных, найти функцию отклика вида = ₀ +₁x₁ +₂x₂. Определить какие из коэффициентов функции отклика являются значимыми. Выяснить является ли полученная функция отклика адекватной. Перейти к натуральным переменным.

436.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	15	94
Верхний уровень	25	114

N	y1	y2	y3
1	21	24	30
2	27	28	21
3	15	6	9
4	4	8	6

437.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	56	24
Верхний уровень	96	44

N	y1	y2	y3
1	33	35	34
2	37	38	36
3	18	20	19
4	11	15	14

438.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	122	47
Верхний уровень	162	67

N	y1	y2	y3
1	45	43	42
2	33	38	36
3	15	20	22
4	10	15	16

439.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	16	48
Верхний уровень	20	56

N	y1	y2	y3
1	15	14	12
2	18	20	19
3	31	28	27
4	26	27	29

440.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	28	32
Верхний уровень	42	48

N	y1	y2	y3
1	44	42	43
2	49	46	45
3	32	34	30
4	29	31	32

441.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	64	45
Верхний уровень	74	85

N	y1	y2	y3
1	66	65	67
2	68	70	69
3	48	46	44
4	45	44	43

442.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	118	66
Верхний уровень	138	106

N	y1	y2	y3
1	44	45	43
2	32	36	34
3	16	21	19
4	11	10	13

443.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	18	44
Верхний уровень	24	58

N	y1	y2	y3
1	16	18	14
2	18	22	20
3	33	31	32
4	27	26	29

444.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	16	24
Верхний уровень	28	56

N	y1	y2	y3
1	41	45	42
2	48	46	47
3	33	35	32
4	28	30	29

445.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	62	43
Верхний уровень	76	83

N	y1	y2	y3
1	64	62	66
2	69	71	72
3	49	47	48
4	42	45	41

446.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	14	92
Верхний уровень	28	108

N	y1	y2	y3
1	20	19	23
2	24	22	25
3	14	18	11
4	7	9	6

447.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	54	28
Верхний уровень	84	46

N	y1	y2	y3
1	33	35	36
2	36	39	37
3	17	19	18
4	10	12	8

448.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	110	49
Верхний уровень	140	69

N	y1	y2	y3
1	42	46	41
2	30	32	31
3	16	18	20
4	9	11	6

449.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	16	46
Верхний уровень	26	62

N	y1	y2	y3
1	14	12	16
2	17	21	22
3	32	29	27
4	28	27	25

450.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	58	42
Верхний уровень	74	92

N	y1	y2	y3
1	63	60	62
2	68	70	69
3	44	42	46
4	41	40	38

451.

Фактор	X1	X2
Нижний уровень	8	12
Верхний уровень	16	28

N	y1	y2	y3
1	33	28	31
2	31	29	27
3	15	14	12
4	8	7	6

В следующих задачах трехфакторный эксперимент проводится на 2-х уровнях, данные наблюдений представлены таблицей. Найти основной уровень и интервал варьирования. Построить полный факторный эксперимент типа 2³ в кодированных переменных, найти функцию отклика вида = ₀ +₁x₁ +₂x₂ +₃x₃. Определить какие из коэффициентов функции отклика являются значимыми. Выяснить является ли полученная функция отклика адекватной. Перейти к натуральным переменным.

452. Предположим, что зависимость расхода цемента на 1 пескобетона y от трех факторов – плотности песка X₁ , пустотности X₂ и объема цементного теста X₃ – имеет вид: . Полный трехфакторный эксперимент проводится на двух уровнях:

Уровень	X1	X2	X3
Нижний	1,35	0,39	390
Верхний	1,65	0,5	500

Результаты исследований представлены таблицей.

N	y1	y2	y3
1	640	680	710
2	590	650	640
3	700	690	680
4	590	620	650
5	710	670	690
6	570	590	600
7	680	650	630
8	700	650	670

453. Предположим, что зависимость жесткости бетонной смеси y от трех факторов – содержания песка X₁ , осадки конуса X₂ и проектной марки бетона X₃ – имеет вид: . Полный трехфакторный эксперимент проводится на двух уровнях:

Уровень	X1	X2	X3
Нижний	35	1	150
Верхний	56	9	400

Результаты исследований представлены таблицей.

N	y1	y2	y3
1	5	8	7
2	6	11	9
3	17	7	10
4	12	6	9
5	16	11	15
6	10	19	17
7	14	8	13
8	17	6	10

454. Предположим, что зависимость выхода бетонной смеси y от трех факторов – водоцементного отношения X₁, расхода воды X₂ и расхода цемента X₃ – имеет вид: . Полный трехфакторный эксперимент проводится на двух уровнях:

Уровень	X1	X2	X3
Нижний	0,50	266	160
Верхний	0,60	380	180

Результаты исследований представлены таблицей.

N	y1	y2	y3
1	0,61	0,59	0,63
2	0,67	0,64	0,69
3	0,65	0,59	0,63
4	0,60	0,58	0,61
5	0,63	0,69	0,64
6	0,68	0,65	0,67
7	0,61	0,68	0,61
8	0,65	0,59	0,61

455. Предположим, что зависимость осадки конуса y от трех факторов – содержания песка в % от общего количества заполнителей X₁ , водоцементного отношения X₂ и расхода воды X₃ – имеет вид: . Полный трехфакторный эксперимент проводится на двух уровнях:

Уровень	X1	X2	X3
Нижний	35	0,57	167
Верхний	56	0,58	230

Результаты исследований представлены таблицей.

N	y1	y2	y3
1	4	2	3
2	4	5	6
3	7	8	5
4	3	4	5
5	6	3	7
6	4	5	2
7	8	4	6
8	3	4	2

456.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	60	33	40
Верхний уровень	70	93	84

N	y1	y2	y3
1	63	61	64
2	68	70	71
3	57	55	56
4	53	51	52
5	49	47	48
6	45	44	47
7	43	42	44
8	40	43	39

457.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	62	43	18
Верхний уровень	76	81	24

N	y1	y2	y3
1	64	62	66
2	69	71	73
3	49	47	51
4	43	48	46
5	62	68	64
6	33	38	37
7	39	41	43
8	44	46	42

458.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	12	17	26
Верхний уровень	15	25	30

N	y1	y2	y3
1	5,8	5,7	5,3
2	7,9	7,6	7,7
3	8,1	7,9	8,3
4	9,8	9,3	9,5
5	8,8	8,6	8,4
6	5,3	5,1	4,9
7	6,2	6,8	6,4
8	6,9	7,2	6,7

459.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	14	92	66
Верхний уровень	28	108	72

N	y1	y2	y3
1	20,5	19,4	23,3
2	24,1	22,2	25,7
3	14,4	18,1	11,5
4	7,2	9,1	6,0
5	6,2	8,3	7,1
6	18,3	19,1	21,5
7	12,0	14,1	11,3
8	6,6	6,8	7,1

460.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	110	49	53
Верхний уровень	140	69	73

N	y1	y2	y3
1	42	46	41
2	30	32	31
3	26	28	30
4	19	21	16
5	18	14	15
6	13	15	11
7	11	12	10
8	9	11	6

461.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	60	33	40
Верхний уровень	70	93	84

N	y1	y2	y3
1	63	61	64
2	68	70	71
3	57	55	56
4	53	51	52
5	49	47	48
6	45	44	47
7	43	42	44
8	40	43	39

462.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	12	84	36
Верхний уровень	24	104	66

N	y1	y2	y3
1	18	17	21
2	26	24	27
3	23	25	24
4	21	20	22
5	22	19	20
6	18	21	16
7	16	15	17
8	14	13	15

463.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	8	20	12
Верхний уровень	16	40	28

N	y1	y2	y3
1	33	28	30
2	31	28	26
3	26	24	27
4	24	22	21
5	20	19	22
6	18	17	19
7	12	10	14
8	8	7	6

464.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	16	72	93
Верхний уровень	28	84	99

N	y1	y2	y3
1	22	24	28
2	27	23	25
3	24	21	22
4	20	19	23
5	17	15	18
6	14	16	13
7	13	9	11
8	10	8	12

465.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	118	17	126
Верхний уровень	200	33	130

N	y1	y2	y3
1	4,8	4,7	4,3
2	6,9	6,6	6,7
3	7,1	6,9	7,3
4	8,8	8,3	8,5
5	7,8	7,6	7,4
6	4,3	4,1	3,9
7	5,2	5,8	5,4
8	5,9	6,2	5,7

466.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	14	92	66
Верхний уровень	28	108	72

N	y1	y2	y3
1	20,5	19,4	23,3
2	24,1	22,2	25,7
3	14,4	18,1	11,5
4	7,2	9,1	6,0
5	6,2	8,3	7,1
6	18,3	19,1	21,5
7	12,0	14,1	11,3
8	6,6	6,8	7,1

467.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	110	49	53
Верхний уровень	140	69	73

N	y1	y2	y3
1	42	46	41
2	30	32	31
3	26	28	30
4	19	21	16
5	18	14	15
6	13	15	11
7	11	12	10
8	9	11	6

468.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	60	33	40
Верхний уровень	70	93	84

N	y1	y2	y3
1	63	61	64
2	68	70	71
3	57	55	56
4	53	51	52
5	49	47	48
6	45	44	47
7	43	42	44
8	40	43	39

469.

Фактор	X1	X2	X3
Нижний уровень	12	84	36
Верхний уровень	24	104	66

N	y1	y2	y3
1	18	17	21
2	26	24	27
3	23	25	24
4	21	20	22
5	22	19	20
6	18	21	16
7	16	15	17
8	14	13	15

2.6. План Бокса. Для нахождения экстремума проводится исследование функции отклика. Для этого строят планы более высокого порядка, так как функции отклика вблизи экстремума обычно плохо аппроксимируются линейной функцией.

План, которому соответствует функция отклика вида

,

являющаяся полиномом степени d от переменных x₁, x₂, ..., x_k, называется планом порядка d, если он позволяет получить несмещенные МНК-оценки неизвестных параметров .

Для аппроксимации функции отклика обычно используется полином 2-й степени:

.

Для построения планов второго порядка нельзя непосредственно воспользоваться факторными экспериментами, в которых переменные варьируются на двух уровнях. Эти эксперименты не позволяют получить несмещенные оценки параметров , , т. к. соответствующие столбцы матрицы планирования состоят из единиц. Поэтому при построении планов второго порядка используются факторные эксперименты, в которых переменные варьируются на трех или более уровнях. В полных факторных экспериментах типа число различных точек плана .

Но полный факторный эксперимент типа использовать для построения планов второго порядка нецелесообразно, так как избыточность опытов   N – ( p + 1), где – число неизвестных параметров в (15), очень велика.

Один из способов построения плана второго порядка состоит в использовании результатов планирования. План такого вида получается достраиванием факторного плана и называется композиционным.

Рассмотрим пример построения центрального композиционного плана, когда число факторов  k  3. Предположим, что при поиске экстремума использовалось линейное приближение функции отклика . Допустим далее, что при проверке гипотезы адекватности модели линейное приближение оказалось недостаточным. Полагая, что область экстремума достигнута, воспользуемся для ее описания полиномом второй степени. Число неизвестных коэффициентов полинома

.

Для их оценивания построим композиционный план. Полный факторный эксперимент типа 2³ образует ядро композиционного плана. В качестве дополнительных точек для наблюдений возьмем еще шесть так называемых «звездных» точек с координатами (–₁, 0, 0), (₁, 0, 0), (0, –₂, 0), (0, ₂, 0), (0, 0, –₃), (0, 0, ₃). Кроме этих точек при построении композиционного плана используют повторных опытов в его центре. Наблюдения в нем или уже имеются до построения композиционного плана, или их выполняют. Они необходимы для проверки гипотезы адекватности модели, а также для получения информации о центре плана.

В этом случае матрица плана при имеет вид: , где обозначено

, .

План представляет собой композицию или соединение двух планов, матрицы которых и , и поэтому называется композиционным. Так как точки построенного композиционного плана расположены симметрично относительно центра, то его называют центральным.

Аналогично строятся центральные композиционные пла­ны 2-го порядка для произвольного числа факторов k, при этом каждый из факторов варьируется на пяти уровнях , – 1, 0, 1, (i  1, 2, ..., k). Число наблюдений выражается, очевидно, равенством N  N₀ + 2k + n₀,

где N₀ – число наблюдений в точках ядра плана; 2k – число «звездных» точек; n₀ – число наблюдений в центре плана. Число  в этом случае называют плечом плана.

Среди центральных композиционных планов наиболее широко применяются планы Бокса.

Центральный композиционный план 2-го порядка называется планом Бокса, если его ядром является полный факторный эксперимент типа 2^k.

Ортогональный план Бокса имеет вид:

План	x0 x1 x2 x3				x1x2 x1x3 x2x3
Полный факторный эксперимент типа 23	1 1 1 1 1 1 1 1	–1 1 –1 1 –1 1 –1 1	–1 –1 ­1 1 –1 –1 1 1	–1 –1 ­–1 –1 1 1 1 1	1 –1 –1 1 1 –1 –1 1	1 –1 ­1 –1 –1 1 –1 1	1 ­1 –1 –1 –1 –1 1 1	1– c 1– c 1– c 1– c 1– c 1– c 1– c 1– c	1– c 1– c 1– c 1– c 1– c 1– c 1– c 1– c	1– c 1– c 1– c 1– c 1– c 1– c 1– c 1– c
Звездный план	1 1 1 1 1 1	–  0 0 0 0	0  –  0 0	0 0 0  – 	0    0 0	0    0 0	0    0 0	2– c 2– c – c – c – c – c	– c – c 2 – c 2 – c – c – c	– c – c – c – c 2 – c 2 – c
Наблюдения в центре плана	1 1 1	0 0 0	0 0 0	0 0 0	0 0 0	0 0 0	0 0 0	– c – c – c	– c – c – c	– c – c – c

Зависимость  и c от числа факторов при n₀  3 показана в следующей таблице.

Число факторов	2	3	4
Ядро
c	0,603	0,686	0,770
	1,147	1,353	1,547

Пусть – элемент матрицы , тогда оценки параметров , где , определяются формулой

, j  1, 2, ..., p.

Оценка параметра определяется формулой

, .

Оценкой функции отклика в точке является

,

Пусть k  3, N₀  2³ и n₀  3, тогда   1,35, c  0,69, и значит матрица планирования для ортогонального плана Бокса и данной функции отклика имеет вид:

.(3)

460. Зависимость жесткости бетонной смеси Ж от трех факторов – расхода цемента X₁, цементноводного отношения X₂ и прочности бетона X₃ – имеет вид:

η = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + β₃x₃ + β₁₂x₁x₂ + β₁₃x₁x₃ + β₂₃x₂x₃ + + + . Ортогональный план Бокса проводится на пяти уровнях:

Уровень	X1	X2	X3
Нижний звездный	173	2,333	465,9
Нижний	180	2,38	468
Центр плана	200	2,40	474
Верхний	220	2,42	480
Верхний звездный	227	2,467	482,1

Результаты исследований представлены таблицей.

N
1	15	14	13	14
2	68	69	67	68
3	49	50	51	50
4	68	67	66	67
5	68	70	69	69
6	61	60	59	60
7	47	48	49	48
8	39	42	39	40
9	10	9	11	10
10	84	85	83	84
11	28	29	27	28
12	19	17	18	18
13	25	26	27	26
14	27	25	26	26
15	23	21	22	22
16	21	20	19	20
17	21	22	20	21

Перейти к кодированным переменным, найти оценки коэффициентов функции отклика. Выяснить, какие из коэффициентов значимы. Проверить, является ли полученная модель адекватной. В случае адекватности перейти к натуральным переменным.

Решение. Здесь k  3, N₀  2³ и n₀  3, поэтому   1,35, c  0,69, и, значит, матрица планирования для ортогонального плана Бокса и функции отклика имеет вид (3)

Учитывая эту матрицу плана, можно вычислить коэффициенты функции отклика.

.

И так мы получаем функцию отклика:

.

Выясним, какие из коэффициентов значимы, для этого сначала вычислим сумму . Так как ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; , то = (15 – 27,94)² + (14 – 27,94)² + (13 – 27,94)² + (68 – 61,58)² + (69 – 61,58)² + (67 – 61,58)² + …+ (21 – 1,74)² + (22 – 1,74)² + (20 – 1,74)² = 167,44 + 194,32 + 223,2 + 41,22 + 55,06 + 29,38 +…+ 333,43 + 333,43 + 297,91 = 18681,96.

Далее вычислим дисперсию = , откуда .

Так как , и, значит , где , , , , а , то

коэффициент незначим;

коэффициент незначим;

коэффициент незначим;

коэффициент незначим;

коэффициент незначим;

коэффициент значим;

коэффициент значим;

коэффициент значим;

коэффициент незначим;

коэффициент значим.

Окончательно получаем, что функция отклика имеет вид: . Проверим, является ли полученная модель адекватной. Для этого сначала найдем суммы и .

Так как ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; , то S₁ = (14–26,4)² + (68-48,4)² +

+ (50 – 45,4)² +…+ 22 ² +20² +21²) = 23262,72. Тогда .

, значит

Найдем

.

По таблице для критических точек распределения Фишера по уровню значимости   0,05 и степеням свободы n – p_{0 =} 17 – 4 = 13; N – n = 51 – 17 = 34 найдем  2,02. Так как , то гипотеза адекватности отвергается.

В следующих задачах найти «звездные» уровни. Перейти к кодированным переменным, найти оценки коэффициентов функции отклика. Выяснить, какие из коэффициентов значимы. Проверить, является ли полученная модель адекватной.

461. Предположим, что зависимость прочности бетона R от трех факторов – массы пыли на 1м² X₁, количества воды на 1м² X₂ и цементноводного отношения X₃ – имеет вид: . Ортогональный план Бокса проводится на пяти уровнях:

Уровень	X1	X2	X3
Нижний	15,5	267,7	1,93
Верхний	46,5	312,7	2,29

Результаты исследований представлены таблицей.

N
1	625	610	630	621,7
2	580	550	565	565
3	600	630	625	618,3
4	550	545	540	545
5	485	460	475	473,3
6	575	573	578	575,3
7	603	610	615	609,3
8	490	485	487	487,3
9	545	550	547	547,3
10	515	530	535	526,7
11	527	530	535	530,7
12	460	453	450	454,3
13	480	487	430	465,7
14	603	610	625	612,7
15	512	502	492	502
16	505	507	510	507,3
17	535	538	540	537,7

462. Предположим, что зависимость ожидаемой прочности бетона от трех факторов – водоцементного отношения X₁, количества воды на 1м² X₂ и осадки конуса X₃ – имеет вид: . Ортогональный план Бокса проводится на пяти уровнях:

Уровень	X1	X2	X3
Нижний звездный	0,39	209,0	0,83
Нижний	0,5	220,1	3,65
Центр плана	0,8	251,8	2,45
Верхний	1,1	283,5	3,65
Верхний звездный	1,21	294,6	4,07

Результаты исследований представлены таблицей.

N
1	370	382	379
2	398	394	391
3	411	405	418
4	450	445	441
5	392	390	395
6	388	381	386
7	456	451	457
8	402	405	408
9	372	375	376
10	393	395	391
11	451	455	454
12	340	342	345
13	300	306	304
14	306	308	310
15	415	416	417
16	392	384	389
17	370	365	371

463. Предположим, что зависимость ожидаемой прочности на 1 сутки после ТВО от трех факторов – содержания цемента – Х₁, соотношения гранулированного доменного шлака и песка – Х₂ и В/Ц – Х₃. – имеет вид: . Ортогональный план Бокса проводится на пяти уровнях:

Уровень	X1	X2	X3
Нижний	200	10	0,5
Верхний	500	70	0,7

Результаты исследований представлены таблицей.

N
1	261	260	258
2	169	170	168
3	281	283	280
4	251	249	250
5	322	325	323
6	105	107	106
7	368	372	370
8	432	428	430
9	333	335	332
10	238	237	235
11	245	247	246
12	238	237	235
13	254	255	252
14	312	311	310
15	283	281	280
16	277	275	274
17	268	266	269

464. Предположим, что зависимость прочности бетона после пропаривания от трех факторов – расхода керамзита X₁, количества воды на 1м² X₂ и подвижности смеси X₃ – имеет вид:

.

Ортогональный план Бокса проводится на пяти уровнях:

Уровень	X1	X2	X3
Нижний	450	270	11
Верхний	526	278	15

Результаты исследований представлены таблицей.

N
1	1,6	7,2	12,9
2	4,3	7,3	9,8
3	7,3	10,7	5,7
4	9,8	14,25	8,4
5	10,6	5,7	6,1
6	14,25	9,6	11,5
7	7,2	11,25	10,6
8	5,7	9,8	7,5
9	6,8	10,6	4,3
10	8,4	12,9	7,2
11	9,6	9,8	9,6
12	11,5	7,5	6,8
13	12,9	11,6	11,25
14	3,3	2,5	3,8
15	9,8	9,8	10,6
16	9,9	9,1	9,3
17	10,6	10,4	11,0

465. Предположим, что зависимость расхода цемента на 1м³ пескобетона Ц от трех факторов – плотности песка X₁, пустотности X₂ и объема цементного теста X₃ – имеет вид: . Ортогональный план Бокса проводится на пяти уровнях:

Уровень	X1	X2	X3
Нижний	0,5	220,1	3,65
Верхний	1,1	283,5	3,65

Результаты исследований представлены таблицей.

N
1	370	382	379
2	398	394	391
3	411	405	418
4	450	445	441
5	392	390	395
6	388	381	386
7	456	451	457
8	402	405	408
9	372	375	376
10	393	395	391
11	451	455	454
12	340	342	345
13	300	306	304
14	306	308	310
15	415	416	417
16	392	384	389
17	370	365	371

466. Предположим, что зависимость прочности цементного теста y от трех факторов – содержания добавки ЛСТ X₁, водоцементного отношения X₂ и расхода цемента X₃ – имеет вид: .

Ортогональный план Бокса проводится на пяти уровнях:

Уровень	X1	X2	X3
Нижний	0,2	0,49	400
Верхний	0,4	0,52	420

Результаты исследований представлены таблицей.

N
1	78,5	83,6	84,2
2	103	104	102
3	90,4	93,2	90,7
4	83,5	87,1	84,9
5	78,3	81,4	79,5
6	90,1	89,2	93,5
7	83,9	82,1	85,7
8	95,4	96,8	93,2
9	85,6	83,4	81,3
10	96,9	97,3	98,3
11	100,8	98,5	99,7
12	89,3	86,8	88,1
13	93,2	94,9	90,3
14	79,0	77,1	78,9
15	87,2	83,3	89,8
16	102,3	101,8	92,1
17	93,2	96,8	94,3

467. Предположим, что зависимость теплопроводности пенополистирольного теплоизолятора, находящегося в ограждающей конструкции стены П от трех факторов – плотности пенополистирола X₁, водопоглощения за 24 часа в % X₂ и прочности на сжатие X₃ – имеет вид: .

Ортогональный план Бокса проводится на пяти уровнях:

Уровень	X1	X2	X3
Нижний	15	1,8	250
Верхний	25	3	500

Результаты исследований представлены таблицей.

N
1	0,037	0,036	0,038
2	0,038	0,04	0,039
3	0,04	0,037	0,041
4	0,039	0,041	0,037
5	0,039	0,035	0,041
6	0,036	0,034	0,04
7	0,038	0,04	0,039
8	0,041	0,035	0,038
9	0,04	0,036	0,039
10	0,036	0,041	0,038
11	0,041	0,038	0,04
12	0,036	0,035	0,033
13	0,039	0,038	0,04
14	0,04	0,041	0,041
15	0,036	0,035	0,044
16	0,04	0,04	0,037
17	0,039	0,039	0,038

468. Предположим, что зависимость водоотделения из пены при производстве пенобетона y от трех факторов – количества стабилизатора X₁, продолжительности вспенивания X₂ и концентрации раствора пенообразователя X₃ – имеет вид: .

Ортогональный план Бокса проводится на пяти уровнях:

Уровень	X1	X2	X3
Нижний	10	1	1
Верхний	28	6	3

Результаты исследований представлены таблицей.

N
1	36	30	33
2	35	40	38
3	37	40	41
4	30	29	31
5	35	32	30
6	27	29	30
7	25	28	29
8	28	26	30
9	27	30	32
10	23	27	26
11	30	31	30
12	29	26	32
13	33	38	35
14	32	34	36
15	30	33	32
16	26	30	31
17	33	37	38

Таблица 1. Значения функции

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,3989	3989	3989	3988	3986	3984	3982	3980	3977	3973
0,1	3970	3965	3961	3956	3951	3945	3939	3932	3925	3918
0,2	3910	3902	3894	3885	3876	3867	3857	3847	3836	3925
0,3	3814	3802	3790	3778	3765	3752	3739	3726	3712	3697
0,4	3683	3668	3653	3637	3621	3605	3589	3572	3555	3538
0,5	3521	3503	3485	3467	3448	3429	3410	3391	3372	3352
0,6	3332	3312	3292	3271	3251	3230	3209	3187	3166	3144
0,7	3123	3101	3079	3056	3034	3011	2989	2966	2943	2920
0,8	2897	2874	2850	2827	2803	2780	2756	2732	2709	2685
0,9	2661	2637	2613	2589	2565	2541	2516	2492	2468	2444
1,0	0,2420	2396	2371	2347	2323	2299	2275	2251	2227	2203
1,1	2179	2155	2131	2107	2083	2059	2036	2012	1989	1965
1,2	1942	1919	1895	1872	1849	1826	1804	1781	1758	1736
1,3	1714	1691	1669	1647	1626	1604	1582	1561	1539	1518
1,4	1497	1476	1456	1435	1415	1394	1374	1354	1334	1315
1,5	1295	1276	1257	1238	1219	1200	1182	1163	1145	1127
1,6	1109	1092	1074	1057	1040	1023	1006	0989	0973	0957
1,7	0940	0925	0909	0893	0878	0863	0848	0833	0818	0804
1,8	0790	0775	0761	0748	0734	0721	0707	0694	0681	0669
1,9	0656	0644	0632	0620	0608	0596	0584	0573	0562	0551
2,0	0,0540	0529	0519	0508	0498	0488	0478	0468	0459	0449
2,1	0440	0431	0422	0413	0404	0396	0387	0379	0371	0363
2,2	0355	0347	0339	0332	0325	0317	0310	0303	0297	0290
2,3	0283	0277	0270	0264	0258	0252	0246	0241	0235	0229
2,4	0224	0219	0213	0208	0203	0198	0194	0189	0184	0180
2,5	0175	0171	0167	0163	0158	0154	0151	0147	0143	0139
2,6	0136	0132	0129	0126	0122	0119	0116	0113	0110	0107
2,7	0104	0101	0099	0096	0093	0091	0088	0086	0084	0081
2,8	0079	0077	0075	0073	0071	0069	0067	0065	0063	0061
2,9	0060	0058	0056	0055	0053	0051	0050	0048	0047	0046
3,0	0,0044	0043	0042	0040	0039	0038	0037	0036	0035	0034
3,1	0033	0032	0031	0030	0029	0028	0027	0026	0025	0025
3,2	0024	0023	0022	0022	0021	0020	0020	0019	0018	0018
3,3	0017	0017	0016	0016	0015	0015	0014	0014	0013	0013
3,4	0012	0012	0012	0011	0011	0010	0010	0010	0009	0009
3,5	0009	0008	0008	0008	0008	0007	0007	0007	0007	0006
3,6	0006	0006	0006	0005	0005	0005	0005	0005	0005	0004
3,7	0004	0004	0004	0004	0004	0004	0003	0003	0003	0003
3,8	0003	0003	0003	0003	0003	0002	0002	0002	0002	0002
3,9	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0002	0001	0001

Таблица 2. Значения функции

x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0,0	0,00000	00399	00798	01197	01595	01994	02392	02790	03188	03586
0,1	03983	04380	04776	05172	05567	05962	06356	06749	07142	07535
0,2	07926	08317	08706	09095	09483	09871	10257	10642	11026	11409
0,3	11791	12172	12552	12930	13307	13683	14058	14431	14803	15173
0,4	15542	15910	16276	16640	17003	17364	17724	18082	18439	18793
0,5	19146	19497	19847	20194	20540	20884	21226	21566	21904	22240
0,6	22575	22907	23237	23565	23891	24215	24537	24857	25175	25490
0,7	25804	26115	26424	26730	27035	27337	27637	27935	28230	28524
0,8	28814	29103	29389	29673	29955	30234	30511	30785	31057	31327
0,9	31594	31859	32121	32381	32639	32894	33147	33398	33646	33891
1,0	34134	34375	34614	34850	35083	35314	35543	35769	35993	36214
1,1	36433	36650	36864	37076	37286	37493	37698	37900	38100	38298
1,2	38493	38686	38877	39065	39251	39435	39617	39796	39973	40147
1,3	40320	40490	40658	40824	40988	41149	41309	41466	41621	41774
1,4	41924	42073	42220	42364	42507	42647	42786	42922	43056	43189
1,5	43319	43448	43574	43699	43822	43943	44062	44179	44295	44408
1,6	44520	44630	44738	44845	44950	45053	45154	45254	45352	45449
1,7	45543	45637	45728	45818	45907	45994	46080	46164	46246	46327
1,8	46407	46485	46562	46638	46712	46784	46856	46926	46995	47062
1,9	47128	47193	47257	47320	47381	47441	47500	47558	47615	47670
2,0	47725	47778	47831	47882	47932	47982	48030	48077	48124	48169
2,1	48214	48257	48300	48341	48382	48422	48461	48500	48537	48574
2,2	48610	48645	48679	48713	48745	48778	48809	48840	48870	48899
2,3	48928	48956	48983	49010	49036	49061	49086	49111	49134	49158
2,4	49180	49202	49224	49245	49266	49286	49305	49324	49343	49361
2,5	49379	49396	49413	49430	49446	49461	49477	49492	49506	49520
2,6	49534	49547	49560	49573	49585	49598	49609	49621	49632	49643
2,7	49653	49664	49674	49683	49693	49702	49711	49720	49728	49736
2,8	49744	49752	49760	49767	49774	49781	49788	49795	49801	49807
2,9	49813	49819	49825	49831	49836	49841	49846	49851	49856	49861
3,0 3,5 4,0 4,5 5,0	0,49865 0,49977 0,499968 0,499997 0,49999997		3,1 3,6	49903 49984	3,2 3,7	49931 49989	3,3 3,8	49952 49993	3,4 3,9	49966 49995

Таблица 3. Корни уравнения P(c² < x)  q