§ 2. Планирование эксперимента

2.1. Линейная модель наблюдений. Пусть имеется n наблюдений (случайных величин) , для которых , i  1, 2, ..., n; где – неизвестные параметры, которые называют коэффициентами регрессии, x_ij – известные коэффициенты. Пусть X  (x_ij) – матрица неизвестных коэффициентов (порядка n  p), – вектор-столбец наблюдений; . Значения , минимизирующие функцию

,

при наблюдаемых значениях , называются оценками метода наименьших квадратов или, коротко, МНК-оценками неизвестных параметров _j. МНК-оценки параметра задаются матричным равенством: .

Оценка параметра _j называется линейной, если f_j представляет собой линейную форму от .

Входные данные заданы матрицей , а выходные данные заданы матрицей y. Найти МНК-оценки неизвестных параметров _j.

386. , . 387. , . 388. , . 389. , . 390. , .

391. , . 392. , . 393. , . 394 , . 395. , .

396. , . 397. , .

2.2. План эксперимента. Одномерная регрессионная модель эксперимента. Рассмотрим – эксперимент, т. е. такой эксперимент, в котором проводится N измерений одномерной зависимой переменной y в некоторых точках x факторного пространства.

Набор точек x_u  (x_1u, x_2u, ..., x_ku) (u  1, 2, ..., N) называется планом эксперимента. Матрица

(1)

называется матрицей плана эксперимента. Точки x_u не обязательно все различны. Обозначим через n число различных точек плана; для определенности будем предполагать, что это точки x₁, x₂, ..., x_n (n m N).

Среднее значение выходной переменной y, рассматриваемое как функция от вектора контролируемых переменных, называется функцией отклика. Обозначив эту функцию через , можно записать

.

Если задана матрица плана и в точках плана, определяемых этой матрицей, проводится N наблюдений над зависимой переменной y то функция отклика задается равенством:

, (2)

где называются коэффициентами функции отклика.

Матрица

называется матрицей планирования эксперимента с матрицей плана (1) и функцией отклика (2).

398. Пусть  (2  4  –3  1)^T – матрица плана, – функция отклика. Тогда f₀(x)  1, f₁(x)  x, f₂(x)  x². Матрица планирования имеет вид

.

Функция отклика имеет вид , – матрица плана. Найти матрицу планирования.

399. , 400. , 401. ,

402. , 403. , 404. ,

405. , 406. , 407. ,

408. , 409. , 410. .

2.3. Оценивание функции отклика и ее параметров при ортогональном планировании.

Если столбцы матрицы планирования попарно ортогональны, т. е. при i  j (i, j  1, 2, ..., p) выполняются равенства f_i(x₁) f_j(x₁)  f_i(x₂) f_j(x₂)  ...  f_i(x_N) f_j(x_N)  то говорят, что имеет место ортогональное планирование. Обозначим f_i(x₁)²  f_i(x₂)²  ...  f_i(x_N)²  | X_j |² , тогда при всех j  1, 2, ..., p .

Пусть даны функция отклика , матрица плана

и вектор-столбец y наблюдений. Найти МНК-оценки коэффициентов функции отклика.

411. , , .

412. , , .

413. , , .

414. , , .

415. , , .

416. , , .

417. , , .

418. , , .

419. , , .

420. , , .

421. , , .

422. , , .

.