Типовые нелинейности

1. Идеальное реле

2. Трехпозиционное реле или реле с зоной нечувствительностью

3. Двухпозиционное реле с гистерезисом

4. Трехпозиционное реле с гистерезисом

5. Нелинейность типа насыщения

6. Нелинейность типа насыщения с зоной нечувствительности

7. Усилитель с переменным коэффициентом усиления

8. Типа «идеальный диод»

9. Типа «модуль»

10. Типа «зазор» 11. Петля гистерезиса

29. Типовая структурная схема нелинейных систем.

Н аиболее распространенная структурная схема нелинейной системы имеет вид:

где НЭ - нелинейный элемент;

ЛЧ – линейная часть

Рассмотрим уравнения этой системы, связывающее входной (r) и выходной (y) сигналы.

(4.8)

Уравнение, связывающее входной и выходной сигнал нелинейного элемента (x и y_Н) имеет вид:

(4.9)

ПРИМЕР

Пусть дана следующая нелинейная система :

Необходимо ее преобразовать к типовому виду (Рис. 4.24). Для этого осуществляется перенос первого сумматора на выход звена

З атем объединяются две ветви обратной связи

Далее система приводится к единичной обратной связи

Полученная нелинейная система отличается от типовой двумя дополнительными линейными звеньями: на входе и выходе системы. Линейное звено можно исключить из системы, заменив входной сигнал по формуле:

(4.10)

А зная сигнал , можно получить выходной сигнал системы по выражению:

(4.11)

Таким образом, для анализа свойств нелинейной системы можно ограничиться рассмотрением типовой схемы нелинейной системы (Рис. 4.24).

ПРИМЕР

Вывести уравнение, связывающее входной и выходной сигнал нелинейного элемента (x и y_Н)

Где , а нелинейный элемент – реле, имеющий статическую характеристику :

(4.12)

(4.13)

Если входной сигнал – единичное ступенчатое воздействие, то (4.13) принимает вид

(4.14)

30. 31. Метод фазовых траекторий.

Метод фазовых траекторий представляет собой графо-аналитический способ исследования нелинейных систем. Сущность метода заключается в описании поведения системы при помощи наглядных геометрических представлений – фазовых портретов.

Динамика нелинейных систем с выходной переменной в общем случае описывается с помощью нелинейного дифференциального уравнения:

(4.15)

Данное уравнение можно представить в виде системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка:

(4.16)

Переменные называются фазовыми переменными состояния. Мгновенное состояние системы и ее дальнейшее поведение однозначно определено, если в некоторый момент времени известны значения всех переменных . Эти значения можно рассматривать как координаты точек в n-мерном пространстве, которое называется фазовым пространством.

Точку с координатами называют изображающей точкой, а линию, по которой она перемещается при изменении состояния системы – фазовой траекторией. Известно, что конкретному начальному состоянию системы соответствует единственное решение системы (4.16), а следовательно единственная фазовая траектория. Поэтому множеству различных начальных условий соответствует семейство фазовых траекторий, которое называется фазовым портретом. Построение фазового портрета дает нагляднее представление о поведении системы, в том числе предоставляет возможность определить режим автоколебаний.

Метод фазового пространства наиболее удобен для анализа систем второго порядка, так как их фазовые траектории располагаются в одной плоскости – в фазовой плоскости переменных x₁ и x₂. Фазовый портрет этих систем можно построить непосредственно по дифференциальному уравнению, не решая его.

Пусть описание системы представлено в виде дифференциального уравнения второго порядка:

(4.17)

Данное уравнение можно представить в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка

, (4.18)

где - отклонение выходной величины от установившегося значения. В качестве переменной принята производная переменной : . Разделив второе уравнение системы (4.18) на первое, можно получить уравнение фазовых траекторий в дифференциальной форме:

(4.19)

Решение данного дифференциального уравнения имеет уравнения фазовых траекторий в явном виде:

, (4.20)

где - постоянная интегрирования, зависящая от начальных условий.