12. Дискретные системы.

Дискретные системы – это системы, в которых хотя бы в одном из звеньев непрерывному входному сигналу соответствует дискретный выходной сигнал. Преобразование непрерывного сигнала в дискретный называется квантованием, или дискретизацией. Звено, в котором происходит дискретизация сигнала, называется квантователем или дискретным элементом.

Виды квантования: 1.по уровню (пример: релейные системы) заключается в фиксации вполне определенных дискретных значений непрерывного сигнала. При этом непрерывный сигнал заменяется ступенчато изменяющимся сигналом. Смежные дискретные значения отличаются друг от друга , называемую шагом квантования. Переход от одного уровня квантования на другой происходит в моменты времени, когда непрерывный сигнал достигает очередного фиксированного значения.

(1)

2.по времени (пример: импульсные сист.) заключается в фиксации значений непрерывного сигнала в равноотстоящие друг от друга дискретные моменты времени. При этом квантованный сигнал представляет собой последовательность импульсов. Смежные моменты времени отличаются на постоянную величину , называемую интервалом дискретности или шагом дискретности.

(2) (3)

3.по уровню и по времени (пример: цифровые сист.) фиксируются дискретные по уровню значения в дискретные моменты времени.

Квантование по уровню в релейных системах осуществляется при помощи специальных элементов – квантователей. Простейшими квантователями являются двух- и трехпозиционные реле.

Квантование по времени осуществляется с помощью импульсного элемента. Импульсный элемент преобразует непрерывный входной сигнал в последовательность равноотстоящих друг от друга импульсов.

13. Импульсный элемент.

Импульсный элемент преобразует непрерывный входной сигнал в последовательность равноотстоящих друг от друга импульсов. Основными параметрами импульса являются:

• амплитуда импульса (высота импульса) ;

• длительность импульса (ширина импульса) ;

• расположение импульса внутри интервала квантования .

Рис. 3.6.

В зависимости от того, какой из параметров импульса меняется в процессе модуляции, различают следующие виды модуляции: 1) При амплитудно-импульсной модуляции изменяется амплитуда импульса в зависимости от значения непрерывного сигнала в момент квантования, остальные параметры остаются неизменными.

Рис. 3.7.

2) При широтно-импульсной модуляции изменяется длительность импульса в зависимости от значения непрерывного сигнала в момент квантования, остальные параметры остаются неизменными.

Рис. 3.8.

3) При временно-импульсной модуляции изменяется положение импульса внутри интервала квантования в зависимости от значения непрерывного сигнала в момент квантования, остальные параметры остаются неизменными.

Рис. 3.9.

Импульсный элемент можно рассматривать как ключ, который замыкается через каждые секунд на бесконечно малый отрезок времени .

Рис. 3.10.

14. Фиксирующий элемент

Цифровые системы управления строятся по следующему принципу:

Рис. 3.20.

Где ЦР – цифровой регулятор, представленный дискретной передаточной функцией ;

Ф- фиксатор или фиксирующий элемент;

- передаточная функция непрерывной части.

Функции цифрового регулятора и фиксирующего элемента реализуются с помощью вычислительных средств. Задача фиксирующего элемента преобразовать цифровую информацию в непрерывный сигнал, которым можно воздействовать на последующую непрерывную часть системы управления. Обычно желательно, чтобы сигнал после фиксатора представлял собой огибающую для последовательности импульсов , то. Е. в интервале фиксатор дожжен экстраполировать значение амплитуды сигнала в момент на весь i-тый интервал. Отсюда второе название фиксатора как экстраполятор m-го порядка. Экстраполятор m-го порядка реализует полиномиальную экстраполяцию:

(3.32).

Коэффициенты на основе амплитуд сигналов в предыдущие моменты времени.

На практике широкое распространение получили экстраполяторы первого и нулевого порядка.

Экстраполятор первого порядка описывается полином первого порядка:

(3.33).

Коэффициенты определяются следующим образом:

(3.34)

Сигнал экстраполятор первого порядка представлен на рис:

Рис. 3.21.

Экстраполятор нулевого порядка описывается полином нулевого порядка:

(3.35).

Коэффициент определяется следующим образом:

(3.36)

Сигнал экстраполятор нулевого порядка представлен на рис:

Рис. 3.22.

Очевидно, что с точки зрения реализации предпочтительность имеет экстраполятор нулевого порядка. Передаточная функция экстраполятора нулевого порядка:

(3.37)

Дискретная функция импульсной системы с фиксатором (рис.3.23.) определяется следующим образом:

(3.38)

Рис. 3.23.

Рис. 3.24.

Р ассмотрим преобразование непрерывного сигнала при прохождении через импульсную систему, а именно через последовательное соединение импульсного элемента (ключа) и фиксирующего элемента (экстраполятор нулевого порядка) (рис. 3.25.) .

Рис. 3.25. Рис. 3.26.

15. Решетчатая функция.

Решетчатая функция – функция, которую образуют ординаты непрерывной функции при дискретных равноотстоящих друг от друга значениях независимой переменной. Решетчатая функция существует только при дискретных значениях аргумента. То есть для описания импульсной системы с амплитудной модуляцией наилучшим образом подходит решетчатая функция. При этом непрерывный сигнал импульсным элементом преобразуется в последовательность импульсов , то есть в решетчатую функцию. Непрерывная функция является огибающей для решетчатой функции . Введем понятие единичного импульса , тогда последовательность неединичных импульсов может быть представлена в следующем виде:

(3.6)

Изображение Лапласа для i-того неединичного импульса имеет вид:

(3.7)

Так как для каждого фиксированного значения i величина , то ее можно вынести за знак интеграла. Согласно теореме запаздывания изображение смещенной -функции равно . Тогда выражение (7) можно переписать:

Тогда изображение по Лапласу всей последовательности импульсов равно :

(3.9)

Выражение (9) называется дискретным преобразованием Лапласа. Оно устанавливает соответствие между решетчатыми функциями и их изображениями. Введя новую перемену. , можно получить так называемое z-преобразование:

(3.10)

Таким образом, математически преобразование непрерывного сигнала в дискретный сигнал осуществляется следующим образом:

1. непрерывный сигнал заменяется последовательностью импульсов (решетчатая функция).

2. к решетчатой функции применяется z-преобразование

3. степенной ряд сворачивается в конечную сумму. Это конечная сумма и представляет собой дискретные преобразования Лапласа .

Пример

Получить Z-преобразование функции .

Рис. 3.11.

1. Решетчатая функция имеет вид

2. 

3. Конечная сумма ряда:

Для большинства встречающихся в задачах решетчатых функций z-преобразование может быть выполнено при помощи таблиц соответствия, которые приводятся в специальной литературе по импульсным системам.

Свойства z-преобразования аналогичны свойствам обычного преобразования. Приведем важнейшие из них.