42. Вычисление и минимизация дисперсии сигнала ошибки замкнутой системы

Рассмотрим линейную систему следующего вида:

Рис. 5.22

На систему действуют случайные возмущения и с известными спектральными плотностями и . Задающее воздействие также является случайным сигналом со спектральной плотностью . Пусть все три воздействия – центрированные сигналы. Тогда и сигнал ошибки тоже будет центрированным.

Если внешние воздействия не коррелированны между собой, то сигнал ошибки , возникающий в системе, может рассматриваться как сумма трех независимых составляющих:

(5.58)

Рис. 5.23

Составляющая обусловлена неточным воспроизведением задающего воздействия, а составляющие и - неполным подавлением возмущений и . Соответственно дисперсия сигнала ошибки будет определяться как:

(5.59)

Дисперсия случайного сигнала согласно (5.57) зависит от амплитудной частотной характеристики , которая определяется на основе передаточной функции

Передаточные функции , и могут быть вычислены по схемам:

Рис. 5.24

Рис. 5.25

Рис. 5.26

(5.60)

(5.61)

(5.62)

Каждая из дисперсий определяется по формулам:

(5.63)

(5.64)

(5.65)

При подстановке в формулы (5.63)-(5.65) конкретных значений и получаются довольно сложные выражения, интегрирование которых обычными методами затруднительно. Поэтому используют следующий прием. Подынтегральное выражение представляют в типовой форме – в виде отношения двух полиномов от переменной :

, (5.66)

где

(5.67)

Полином всегда имеет степень ниже и содержит только четные степени . Если в числителе окажутся нечетные степени, их можно отбросить.

В полиноме в виде сомножителя входит характеристическое уравнение замкнутой системы. Поэтому при приближении системы к границе устойчивости интеграл (5.66) резко возрастает.

Интегралы вида (5.66) для различных степеней вычислены заранее и приведены в справочниках по теории управления. Для степеней интегралы равны:

(5.68)

Представление интегралов (5.63)- (5.65) в форме (5.66) возможны практически для любой реальной системы, не содержащей запаздывание. Получив таким образом аналитическое значение дисперсии ошибки, получаем функцию от параметров системы:

, (5.69)

где - параметры системы. Минимизируя выражение (5.69) по параметрам и , можно определить их оптимальные значения.

Методы идентификации систем автоматического управления Назначение и определение идентификации объектов

Методы идентификации универсальны: возможно математическое описание самых различных по своей природе объектов в технике, медицине, биологии, геологии, экономике, социологии и т.п.

Анализ и синтез САУ проводят по математическим моделям объектов, которые обычно известны лишь частично. Поэтому приходится прибегать к экспериментальным исследованиям для определения динамики и статики объектов.

Идентификация объектов управления - процедура построения оптимальной в определенном смысле математической модели объекта управления по реализациям его входных и выходных сигналов.

Назначение идентификации- определение оптимальной оценки А* истинного оператора реального объекта А из заданного класса операторов по входным и выходным переменным этого объекта.

Методика идентификации объектов САУ

Идентификация объектов управления предусматривает решение следующих основных задач:

1.Выбор класса математической модели;

2.Выбор языка ее описания;

3.Выбор класса и типа входных сигналов;

4.Выбор критериев соответствия (близости) модели и объекта;

5.Выбор метода идентификации;

6.Разработка (или выбор) соответствующих алгоритмов.

Выбор класса моделей производится на основе теоретического анализа объекта управления с использованием общих закономерностей процессов (физических, химических и т. д.), протекающих в ОУ, и (или) на основе априорной информации о подобных объектах.

В качестве математических моделей ОУ используют следующие основные характеристики:

1.Статическая характеристика ОУ;

2.Импульсная переходная функция;

3.Переходная функция;

4.Частотные характеристики;

5.Описывающие функции;

6.Дифференциальные уравнения;

7.Разностные уравнения;

8.Интегральные уравнения;

9.Передаточная функция;

10.Интегро-дифференциальные уравнения;

11.Представление характеристик ОУ в виде различных интерполяционных рядов: Тейлора, Лягерра, Эрмита, Чебышева, Фурье, Вольтерры и др.

По способу получения экспериментальных данных об ОУ различают методы активного и пассивного эксперимента. При активном эксперименте на вход ОУ подается заранее выбранное воздействие (импульсное, ступенчатое, гармоническое, псевдослучайное и т.д.), в то время как при пассивном эксперименте используются данные, полученные в процессе нормального функционирования ОУ.

В качестве критериев близости ОУ и его математической модели используют:

1.Среднеквадратичную погрешность;

2.Абсолютную погрешность;

3.Максимум правдоподобия и др. оценки.

Методы идентификации ОУ делятся на два обширных класса:

1.Методы, использующие весьма общие гипотезы об ОУ (линейность, стационарность, детерминированность ОУ и др.)- методы непараметрической или функциональной идентификации;

2.Методы параметрической идентификации, когда математическая модель ОУ известна с точностью до параметров, а задачей идентификации является их количественная оценка.