37. Понятие случайного процесса.Корреляционная функция, спек тральная плотность.

Случайной называется функция некоторой независимой переменной, значение которой при каждом данном значении независимой переменной является случайной величиной. Если независимая переменная - время, то случайная функция называется случайным (стохастическим или вероятностным) процессом.

Случайный процесс, в отличие от детерминированного, нельзя описать какой-либо определенной функцией времени . Случайный процесс представляет собой множество функций , обладающие некоторыми общими вероятностными свойствами.

Реализацией случайного процесса называется конкретная функция , которая получена в результате экспериментального наблюдения. Случайные процессы подразделяются на стационарные и нестационарные.

Стационарный случайный процесс - это процесс, статистические характеристики которого не изменяются во времени.

Нестационарный случайный процесс имеет статистические характеристики, которые с течением времени меняются.

Реальные системы, как правило, характеризуются стационарным случайным процессом.

Корреляционная функция

Корреляционная (автокорреляционная) функция - это математическое ожидание произведения мгновенных значений сигнала, разделенных промежутком времени :

(5.8)

Для центрированного сигнала корреляционная функция определяется по формуле:

(5.9)

где - варьируемый сдвиг по времени:

(5.10)

Фиксированному соответствует определенное числовое значение .

Корреляционная функция характеризует степень корреляции (связи) между предыдущими и последующими значениями сигнала.

Корреляционная функция обладает следующими свойствами:

1. При увеличении связь (корреляция) ослабевает.

2. Корреляционная функция убывает тем быстрее, чем быстрее изменяется случайный сигнал.

3. Корреляционная функция является четной функцией:

(5.11)

Экспериментально корреляционная функция определяют (вычисляют) по следующей схеме:

Если реализация представляет собой совокупность дискретных значений стационарного случайного процесса, зафиксированных через равные промежутки времени , то корреляционная функция определяется по формуле:

(5.12)

для получения достаточно достоверной информации о свойствах случайного процесса длину реализации и интервал следует выбирать из условий;

(5.13)

(5.14)

где и - периоды соответственно самой низкочастотной м высокочастотной составляющей сигнала.

Спектральная плотность

Функция не является периодической, поэтому она не может быть разложена в ряд Фурье. С другой стороны, функция из-за неограниченной длительности не интегрируема и поэтому не может быть представлена интегралом Фурье. Для избежания этих трудностей вводится вспомогательная функция , которая совпадает с функцией на интервале и равна нулю вне этого интервала :

(5.15)

Функция интегрируема и для нее существует прямое преобразование Фурье (интеграл Фурье):

(5.16)

Спектральной плотностью мощности случайного сигнала (или просто спектральной плотностью) называется функция вида:

(5.17)

Спектральная плотность - это функция, характеризующая распределение средних значений квадратов амплитуд гармоник сигнала. Спектральная плотность обладает следующими свойствами:

1. Чем быстрее изменяется стационарный случайный процесс, тем шире график .

2. Отдельные пики на графике спектральной плотности свидетельствуют о наличии у случайного сигнала периодических составляющих.

3. Спектральная плотность является четной функцией:

(5.18)

Спектральная плотность связана с дисперсией сигнала следующим соответствием:

(5.19)

Экспериментально спектральная плотность определяется (вычисляется) по следующей схеме:

Спектральная плотность связана с корреляционной функцией следующим выражением (по теореме Хинчина-Винера):

:

(5.22)

(5.23)

Выражения (5.23), (5.24) применяют в практических расчетах. Нетрудно заметить, что при выражение (5.24) определяет дисперсию стационарного случайного процесса.:

(5.24)

Соотношения, связывающие корреляционную функцию и спектральную плотность, обладают всеми присущими преобразованию Фурье свойствами и определяют следующие сравнительные характеристики: чем шире график , тем уже график , и наоборот , чем быстрее убывает функция , тем медленнее уменьшается функция . Эту взаимосвязь иллюстрируют графика на рис (5.7), (5.8)

Рис. 5.8.