Решение стохастических дифференциальных уравнений
Решение стохастических дифференциальных уравнений проиллюстрируем следующими примерами.
Пример 7.1. Процесс (t) арифметического броуновского движения определяется начальным условием (0)=0 и стохастическим дифференциальным уравнением
,
Решение. Применяя определение (7.3), получим
.
Пример 7.2. Процесс геометрического броуновского движения аналогично определяется начальным условием (0)=0 и стохастическим дифференциальным уравнением
.
Решение. Рассмотрим процесс
,
(7.9)
применяя к которому формулу дифференцирования Ито, получим
,
то есть (t) является процессом арифметического броуновского движения, поэтому в силу примера 7.1 его можно записать в виде
,
тогда в силу замены (7.9) процесс (t) представим в виде
.
Так как,
,
то окончательно запишем
.
Пример 7.3. Для диффузионного процесса авторегрессии
.
Решение. В этом уравнении выполним замену
. (7.10)
Применяя формулу дифференцирования Ито, получим
,
следовательно
,
поэтому в силу замены (7.10) можно записать
.
Пример 7.4. Для процесса броуновского моста
.
Решение. В этом уравнении выполним замену
. (7.11)
Применяя формулу дифференцирования Ито, получим
,
следовательно
,
поэтому в силу замены (7.11) можно записать
. (7.12)
Здесь
,
следовательно
,
поэтому в силу (7.12) можно записать
.
Найдём математическое ожидание и дисперсию этого процесса
,
в частности, получим
, (7.13)
.
Так как приращения винеровского процесса на непересекающихся интервалах независимы, их математические ожидание равны нулю, а дисперсии равны длинам этих интервалов, то
,
поэтому
,
и, в частности,
. (7.14)
В силу равенств
(7.14) и (7.13) можно говорить, что броуновский
мост соединяет в среднем квадратическом
точки
и
,
что оправдывает название этого
диффузионного случайного процесса.
Литература
Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. – М.: Изд-во «Наука», 1969. – 512 с.
Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.– 448 с.
Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. Изд. 3-е, испр. и доп. – М. : КомКнига, 2005. – 400 с.
Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1969. – 448 с.
Маталыцкий М.А. Элементы теории случайных процессов: Учеб. пособие. – Гродно: ГрГУ, 2004. – 326 с.
Миллер Б.М., Панков А.Р. Теория случайных процессов в примерах и задачах. – М.:ФИЗМАТЛИТ,2002. – 320 с.
Назаров А.А., Терпугов А. Ф. Теория вероятностей и случайных процессов: учеб. пособие. – Томск : Изд-во НТЛ, 2006. – 204 с.
Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания: Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2004.
Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. – М.: Сов. Радио, 1971.
Содержание
Введение 1
Глава 1. Элементы теории случайных процессов 2
Определение и описание случайного процесса 2
Задачи для самостоятельного решения 6
Статистические средние характеристики случайных процессов 8
Стационарные случайные процессы 10
Свойства функции корреляции 11
Эргодические случайные процессы 14
Задачи для самостоятельного решения 16