Глава 5. Непрерывные марковские процессы
Рассмотрим ещё один класс марковских процессов, который характеризуется тем, что не только время, но и множество состояний этих процессов непрерывно. Такие процессы образуют класс непрерывных марковских процессов, являющихся достаточно адекватными моделями многих реальных процессов.
Случайный процесс (t) называется непрерывным марковским, если для любых моментов времени s׳<s<t T и любых действительных y выполнено равенство
.
Условная функция распределения F(s,x;t,y) называется марковской переходной функцией.
Задание этой функции и начального распределения вероятностей состояний полностью определяет марковский процесс. Если существует производная
,
которая называется плотностью вероятностей переходов, то для марковской переходной функции можно записать
.
Очевидно, что марковская переходная функция удовлетворяет следующим условиям:
1) для любых s, x, t марковская переходная функция по y является функцией распределения, то есть
,
,
;
2) для любых s<u<t марковская переходная функция удовлетворяет уравнению Чепмена-Колмогорова
,
или
;
3) марковская переходная функция удовлетворяет условию стохастической непрерывности
Это условие требует, чтобы при достаточно малом времени функционирования процесса его вероятностная мера была сосредоточена около точки, из которой стартует процесс.
Если марковская переходная функция по времени зависит только от разности моментов времени t–s, то процесс называется однородным марковским процессом
.
Для однородного марковского процесса уравнение Чепмена-Колмогорова примет вид
или для плотности вероятностей переходов
.
Определение диффузионного случайного процесса
Среди непрерывных марковских процессов наиболее важную роль играют, так называемые, диффузионные случайные процессы. Это название оправдано тем, что процессы этого класса являются достаточно адекватными математическими моделями движения частиц в процессах диффузии. Кроме того, они могут быть использованы как предельные модели для случайных процессов с дискретным множеством состояний, описывающих явления в биологии, социологии, демографии, теории массового обслуживания.
Определение. Непрерывный марковский процесс называется диффузионным, если его марковская переходная функция удовлетворяет следующим условиям.
1. Для >0 и любых x равномерно по s<t выполняется предельное равенство
.
Это условие требует, чтобы вероятность того, что (t)–(s)>, была бы величиной бесконечно малой бале высокого порядка малости, чем t–s, при ts.
2. Существуют функции a(s,x) и b(s,x) такие, что
,
,
здесь функция a(s,x) называется коэффициентом переноса, а функция b(s,x) – коэффициентом диффузии.
3. Для любых k>2
.
Для однородных диффузионных процессов коэффициенты переноса и диффузии не зависят от времени s, то есть имеют вид
.
При выполнении некоторых ограничений эти коэффициенты полностью определяют рассматриваемый диффузионный процесс. Сформулируем эти ограничения ври выводе прямого и обратного уравнений Колмогорова.
Обратное уравнение Колмогорова
Теорема. Пусть
– ограниченная функция такая, что
имеет ограниченные непрерывные производные по x первого и второго порядка, а коэффициенты переноса a(s,x) и диффузии b(s,x) являются непрерывными функциями своих аргументов. Тогда u(s,x) дифференцируема по s и удовлетворяет уравнению
,
а также краевому условию
.
Следствие. Марковская переходная функция F(s,x;t,y) удовлетворяет уравнению
,
которое называется обратным уравнением Колмогорова.
Если существует переходная плотность
,
то она также удовлетворяет обратному уравнению Колмогорова
.
Решение этих уравнений достаточно полно определяет функционирование диффузионных процессов. Для нахождения их однозначных решений необходимо задать краевые условия, определяемые условием стохастической непрерывности в виде
для марковской переходной функции, или в виде
для переходной плотности распределения.