3. Порядок выполнения работы

1. Задание к работе

1. Изучить структурную схему и инструкцию по работе с программой POLYFEM.

2. Выполнить постановку задачи для определения поля скорости в поперечном эллиптическом сечении цилиндрической трубы с параметрами, взятыми из таблицы 3.1.

3. Используя программу POLYFEM, определить распределение скорости в поперечном сечении трубы, произведя расчет на сетке с числом узлов N = 1200-1300.

4. Полагая для вычисленных максимальной и средней скоростей движения жидкости в трубе эллиптического сечения справедливым соотношение w_ср = 0,5w_m , построить зависимость коэффициента трения  от числа Рейнольдса Re_г , вычислив значения w_m при нескольких величинах источникового члена .

5. Для трубы круглого сечения при тех же значениях расхода жидкости и площади сечения, что и в трубе эллиптического сечения, определить величину падения давления на участке длиной .

6. Сравнить величины падения давления и напряжения трения на стенках указанных труб.

Таблица 3.1

Жидкость - вода :  = 1000 кг/ м3 ;  = 1,00410-3 нс/ м2 ; Reг = 2000
№ варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
а , мм	5	7	6	8	9	8	7	5	7	6
в/a	0,55	0,52	0,45	0,58	0,62	0,33	0,35	0,45	0,25	0,34
№ варианта	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
а , мм	6	5	8	7	8	9	6	7	9	10
в/a	0,44	0,56	0,65	0,48	0,42	0,23	0,45	0,49	0,65	0,54

2. Порядок работы с программой

В стационарном случае программа POLYFEM предназначена для решения уравнения Пуассона общего вида:

, (3.1)

где - коэффициент переноса искомой обобщенной переменной Ф;

Q - плотность источникового члена.

В нашем случае поле скорости в эллиптическом поперечном сечении цилиндрической трубы описывается уравнением Пуассона (2.23):

.

Сопоставив эти два дифференциальных уравнения, получим:

. (3.2)

Работу с программой POLYFEM рассмотрим на конкретном примере.

На рисунке 3.1 изображено эллиптическое поперечное сечение цилиндрической трубы с полуосями, равными - _{а = 5 мм и в = 2,5 мм.}

Сечение построено с помощью 24-х базовых точек, образующих 12 базовых линий в виде дуг окружностей. Чтобы в точках 2 и 14 не образовались заострения, эти точки сделаны средними на базовых линиях 1 и 7. Координаты базовых точек определяются по уравнению эллипса (2.25). Для ускорения вычислений достаточно определить координаты только базовых точек 3 – 7. Остальные базовые точки получаются на основе симметрии эллипса.

При вычислении координат базовых точек уравнение эллипса преобразуется к виду:

. (3.3)

В задании студента параметры эллипса отличны от параметров эллипса в рассмотренном примере. Поэтому для расстановки базовых точек на дуге эллипса близкой к той, которая показана на рисунке 3.1, целесообразно сохранить значения безразмерных координат (x/а) как в рассмотренном примере.

Эллипс располагается в первом квадранте глобальной декартовой системы координат . Положение центра локальной декартовой системы координат смещено относительно центра на расстояния , причем .

Используя заданные значения параметров, определяются величины:

1. гидравлический диаметр , (3.4)

   2. средне-расходная скорость воды в трубе , (3.5)

3. максимальная скорость на оси трубы (теоретическая) , (3.6)

4. величина плотности источникового члена . (3.7)

Данные значения заносятся в таблицу 3.2

^{Таблица 3.2}

а = 5 мм; в = 2,5 мм;  = 1000 кг/ м3;  = 1,00410-3 нс/ м2; Reг = 2000
, мм	, м/с	, м/с	, (м/с)/м2
6,48	0,310	0,620	248000

П ри работе с программой необходимо выполнить следующие операции:

1. включить компьютер;

2. запустить NC;

3. выбрать диск, на котором записана программа POLYFEM;

4. в оглавлении диска найти папку с именем POLYFEM, используя клавиши перемещения курсора. На рабочей панели высветятся папки и файлы каталога POLYFEM;

5. найти файл pfem.exe . После нажатия клавиши ENTER на экране появится заставка пакета POLYFEM с главным меню;

6. выбрать пункт «Выбор модели»;

6. из папок DATA и INIT выбрать папку DATA. Ha экране появятся имена уже созданных моделей пакета POLYFEM, то есть имена с расширением top ;

7. нa клавиатуре на английском языке набрать имя своей модели, удовлетворяя требованиям DOS к именам файлов, и ввести его. Например, А3101Е, где А - имя группы, 3 – номер курса, 1 – номер подгруппы, 01 – номер варианта задания, Е – вариант задания с эллиптической областью (в варианте задания с круговой областью поставить букву К). После этого необходимо подтвердить намерение компьютера создать новую модель нажатием клавиши ENTER;

8. в главном меню выбрать пункт «Цифровой редактор». В верхней строке экрана появится горизонтальное меню редактора геометрии FEMTED, включающее пункты: «просмотр», «точка», «линия», «область», «симметрия», «граничные условия», «утилиты», «триангуляция»;

9. выбрать пункт «Точка». Для установки начала локальной системы координат (x₀ ,y₀) нажать клавишу F5. B появившейся панели необходимо задать начало этой системы при помощи декартовых или полярных координат, отсчитываемых относительно начала глобальной системы координат;

10. клавишей F7 открыть первую строку в таблице базовых точек (зеленого цвета). При нажатии клавиши F4 появляется в левой части экрана таблица более подробного ввода базовых точек – «Ввод базовых точек». Декартовы координаты базовых точек задаются в локальной системе координат x_Л0_Лy_Л (смотрите рисунок 3.1). Следует ввести локальные координаты соответствующей точки и выбрать пункт меню – «Вставить». Следует помнить, что в таблице базовых точек (зеленого цвета) координаты должны быть зафиксированы относительно глобальной системы координат x_Г0_Гy_Г. Поэтому если ввод точек осуществлялся с помощью локальных координат x_Л0_Лy_Л, то они должны быть пересчитаны в глобальные с помощью клавиши F6. Выбором пункта «Вставить» автоматически открывается следующая строка таблицы базовых точек. Нажатием клавиши F4 открывается возможность ввода очередной базовой точки. После ввода последней базовой точки следует выбрать пункт меню «Выход». Клавиши F10 или ESC позволяют вернуться в горизонтальное меню FEMTED;

11. выбрать пункт «Линия», соответствующий редактированию списка базовых линий. На рисунке 3.1 номера базовых линий помещены в кружок. В таблице базовых линий открытие строк производится нажатием клавиши F7. Клавиша F4 позволяет приступить к более подробному вводу базовых линий. Кривые линии аппроксимируются дугами окружностей. Поэтому необходимо ввести начальную, конечную и среднюю точки (при вводе прямых базовых линий средняя точка не вводится). После нажатия клавиши ENTER следует выбрать курсором из пяти типов тип дискретизации. Из таблицы видно, каким образом будут расположены узлы сетки на базовой линии. Далее задаются число внутренних точек и коэффициент сгущения точек. При равномерном типе дискретизации коэффициент сгущения задается равным 1. Как и в предыдущем пункте, выбором пункта «Вставить» производится автоматическое открытие очередной строки таблицы базовых линий. После ввода последней базовой линии следует выбрать пункт «Выход». Возврат в пункт меню «Линия» редактора FEMTED осуществляется нажатием клавиши ESC. Следует отметить, что удаление неправильно введенных базовых линий (или базовых точек в предыдущем пункте) производится при помощи клавиши F8, причем удаление происходит с последней строки по направлению вверх;

12. в горизонтальном меню выбрать пункт «Область». Клавишей F7 открыть строку, а - F4 - панель подробного редактирования. В нашем случае подобласть одна, поэтому присваиваем ей номер 1. B качестве кода материала выбираем 1. Следует согласиться с предлагаемыми критериальными углами сетки нажатием на клавишу ENTER. Для ввода базовых линий, ограничивающих область, нажать последовательно клавиши: F7, цифру, соответствующую номеру базовой линии, ENTER и т.д. Если базовая линия указана с ошибкой, то курсором и клавишей F8 ее можно удалить, для чего надо дополнительно подтвердить запрос компьютера нажатием клавиши Y. Нажав ESC и выбрав пункт «Выход», возвращаемся в пункт «Область», а после нажатия на клавишу ESC переходим в горизонтальное меню FEMTED;

13. курсором выбираем пункт «Граничные условия». В подменю также выбираем пункт «Граничные условия». В таблице клавишей F7 открываем строку, в которой указываем номер базовой линии и код граничного условия. В нашем случае задано условие Дирихле, причем одного типа. Поэтому присваиваем ему код 1. Нажав клавишу F10, курсором выбираем пункт «Распределенные источники». После открытия строки клавишей F7 в соответствующие столбцы ставим номер подобласти 1 и код значения плотности источникового члена, например, 1. Нажав клавишу ESC, возвращаемся в подменю граничных условий, еще раз ESC - в горизонтальное меню FEMTED;

14. нажимаем клавишу ESC и выходим из горизонтального меню FEMTED. Клавишей Y подтверждаем намерение закончить работу, клавишей ENTER сохраняем имя своей модели. После этого происходит возврат в главное меню POLYFEM , причем файл с Вашей моделью записывается в библиотеку;

15. выбираем пункт «Генератор сетки». На экране можно наблюдать за построением сетки. Если сетка построена без ошибок, то нажмите клавишу ESC. На три вопроса: завершить работу, сохранить ли файл, сохранить ли имя файла - отвечаете утвердительно. Произойдет возврат в главное меню POLYFEM;

16. выбрать пункт «Процессор решения». Появляется горизонтальное меню редактора физических параметров - FEMSLV , а также запрос о вводе первой версии решения. Нажмите клавишу F7 и присвойте версии решения номер, например, 1. Версия заносится в таблицу клавишей ENTER. После повторного нажатия ENTER и сообщения компьютера, что данная версия не найдена и создается новая версия, снова нажмите клавишу ENTER. После этого можно двигаться по пунктам горизонтального меню FEMSLV;

17. в пункте «Тип задачи» выбрать либо «Теплопроводность», либо «Плоская задача»;

18. в пункте «Материалы» присвойте материалу номер 1 и код 1. Введите значения теплопроводности, теплоемкости и плотности равными 1. Клавиша ESC позволяет вернуться в горизонтальное меню;

19. выбрав пункт «Граничные условия» и подпункт «Дирихле», задайте в таблице w = 0 - значение граничного условия. Вернувшись с помощью ESC в подменю, найдите пункт «Распределенные источники». В таблицу занесите значение плотности источника . В нашем примере (см таблицу 3.2) оно равно 248000. С помощью клавиши ESC вернитесь в горизонтальное меню;

20. выберите курсором пункт «Утилиты» и подпункт «Масштабирование». Так как размеры области и сетки задавались в мм , то следует задать к = 0,001, предварительно проконтролировав значения х и у в таблице. Клавишей ENTER подтверждаете запрос компьютера, а клавишей ESC осуществляете переход в горизонтальное меню;

21. выберите пункт «Решение». Подтвердите номера версии и текущей записи, дважды нажав ENTER , или измените их, набрав соответствующие цифры и нажав после них ENTER. Ha запрос – «Запустить процессор» - отвечайте согласием, нажав клавишу ENTER. Ha экране появится информация о решении задачи. Прерывать решение не следует. При нормальном завершении решения задачи происходит возврат в горизонтальное меню FEMSLV. После нажатия клавиши ESC появляется запрос – «Закончить работу», на что отвечайте положительно Y. Этой же клавишей Y подтвердите запрос о сохранении файла. Запросы о версии и текущей записи подтвердите дважды, нажав на ENTER. После этого происходит возврат в главное меню POLYFEM;

22. для анализа решения необходимо войти в пункт «Графика». Симметричность картины течения жидкости можно проконтролировать, нанеся на поле изолинии или сделав заливку поля разным цветом. Возврат в меню пункта «Графика» осуществляется при помощи клавиши ESC. Значения скорости и координаты точек можно вывести на экран с помощью подпунктов меню «Графика»: «Постпроцессор», «Число точек», «Значение», «Вдоль прямой». Появившуюся метку установить в начальную точку прямой и нажать на клавишу ENTER. Аналогичным образом повторить действия для конечной точки прямой. Выбрав пункт «Выход», Вы можете вернуться в главное меню POLYFEM. После завершения работы с моделью, выбрав пункт «Завершение работы», можно выйти из главного меню POLYFEM в подкаталоги и файлы каталога POLYFEM.

B таблицу 3.3 помещены результаты расчета поля скорости в цилиндрической трубе эллиптического сечения с помощью программы POLYFEM.

B таблице 3.4 приведены теоретические значения скорости, определенные по формуле (2.29):

м/с,

где х _Л = х _Г – х ₀;

y _Л = y _Г – y ₀;

(x ₀, y ₀) = (10, 7,5) мм.

Таблица 3.3

Число узлов сетки - N=1352; wm=0,618 м/с; х Гm=10 мм; yГm=7,5 мм
Большая полуось		Малая полуось
х Г, мм	W, м/с	yГ, мм	W, м/с
5,1	0,0229	8,00	0,5930
6,0	0,2220	8,51	0,5180
7,0	0,3960	9,01	0,3930
8,0	0,5190	9,49	0,2250
9,0	0,5940	10,00	0,0008

Таблица 3.4

Большая полуось		Малая полуось
yЛ = 0, мм		х Л = 0, мм
х Л, мм	W T, мм	yЛ, мм	W T, мм
-4,9	0,0246	0,50	0,595
-4,0	0,2230	1,01	0,519
-3,0	0,3970	1,51	0,394
-2,0	0,5210	1,99	0,227
-1,0	0,5950	2,50	0,000

Численные и теоретические значения относительной скорости приведены в таблице 3.5

Таблица 3.5

wm = 0,618 ,м/с; wmT = 0,620 ,м/с
Большая полуось а			Малая полуось в
x / a	w /wm	w Т / w mT	y / в	w /wm	w /wmT
0,980	0,037	0,040	0,200	0,9600	0,960
0,800	0,359	0,360	0,404	0,8380	0,837
0,600	0,641	0,640	0,604	0,6360	0,635
0,400	0,840	0,840	0,796	0,3640	0,366
0,200	0,961	0,960	1,000	0,0013	0,000

На основе этих значений на рисунке 3.2 построен график теоретического распределения относительной скорости в трубе эллиптического сечения и нанесены точки, полученные в численном эксперименте.

Определим зависимость коэффициента трения от числа Рейнольдса (Re_г).

Для чисел Re_г = 1500, 1000, 500 найдем среднюю скорость жидкости по формуле:

, м/с

где нс/м²;

кг/м³;

м.

Величины плотностей источниковых членов, соответствующие этим числам Re_Г будут равны:

(м/с)/м².

Обратившись к пункту главного меню «Процессор решения» и пункту FEMSLV – «Граничные условия», задаем значение плотности источникового члена в соответствующей таблице. После решения задачи получаем численные значения _{, которые заносим в таблицу 3.6.}

^{Используя условие -} _, ^{из формулы (2.37) находим численные значения коэффициента гидросопротивления:}

.

В таблице 3.6 приведены численные значения коэффициента трения, а на рисунке 3.3 экспериментальные точки графика зависимости , построенного в логарифмических координатах. Здесь же нанесена в виде сплошной линии теоретическая зависимость , вычисленная по формуле (2.44).

Таблица 3.6

№			, м/с
1	2000	248000	0,618	0,0338	1,529	3,301
2	1500	185926	0,463	0,0451	1,654	3,176
3	1000	123951	0,309	0,0676	1,830	3,000
4	500	61975	0,154	0,1360	2,134	2,699

Решим теперь задачу для цилиндрической трубы круглого сечения.

По условию задачи расходы жидкости через трубы круглого и эллиптического сечений равны. Равны также и площади поперечных сечений труб. В этом случае будут одинаковы максимальные скорости на осях труб. Для трубы круглого сечения гидравлический диаметр определяем, исходя из равенства расходов жидкости и площадей поперечного сечения. Последовательность определения гидравлического диаметра трубы круглого сечения по известному гидравлическому диаметру трубы эллиптического сечения имеет следующий вид:

Численное решение задачи о распределении скорости в трубе круглого сечения аналогично предыдущему. Эту задачу необходимо записать под другим именем. Число узлов сетки выбрать в диапазоне: .

Локальные координаты

№	ХЛ,мм	YЛ,мм
1	0	-3,535
2	-3,535	0
3	0	3,535
4	3,535	0

На рисунке 3.4 изображено круглое сечение с мм. Здесь же обозначены базовые точки, линии и область, а в таблице приведены локальные координаты базовых точек.

1 -4 – номера базовых точек; - номера базовых линий; 1 – номер базовой области;

X_ГО_ГY_Г - глобальная система координат; D1 - условие Дирихле; Q1 - плотность источника

Рисунок 3.4

B качестве первого приближения для источникового члена примем значение =248000, равное величине источникового члена в трубе эллиптического сечения при числе Рейнольдса 2000. В этом случае погрешность определения скорости на оси трубы круглого сечения равна:

.

Уменьшая величину источникового члена, добиваемся приближенного равенства:

.

Вычисления прекращаем при w_m 0,5%.

_{В таблице 3.7 приведены значения погрешностей определения скорости на оси трубы, а также величина найденного источникового члена.}

Таблица 3.7

Номер итерации	Величина , (м/с)/м2	Номер версии решения	Номер текущей записи	, м/с	, %
1	248000	1	1	0,774	25,20
2	220000	1	2	0,686	11,00
3	200000	1	3	0,624	0,97
4	198460	1	4	0,619	0,16

Таким образом, в круглой трубе с тем же сечением и при том же расходе жидкости, что и в трубе с эллиптическим сечением, падение давления меньше. Это хорошо видно из полученного отношения величин перепадов давлений в трубах одинаковой длины с одной и той же жидкостью:

В этом случае из формулы (2.45) следует:

.

Следовательно, напряжения трения на стенке круглой трубы также меньше, чем напряжения трения на стенке трубы эллиптического сечения. Но все же величина падения давления уменьшилась сильнее, чем величина напряжения трения, так как при одинаковой площади периметр круглой трубы меньше, чем периметр трубы эллиптического сечения:

.