2. Численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных

Движение жидкости описывается дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка с соответствующими начальными и граничными условиями. Численный метод исследования движения жидкости заключается в использовании численного метода решения этих дифференциальных уравнений.

Обозначим одно из уравнений, входящих в систему дифференциальных уравнений, в виде

, (2.1)

где Ф - искомая переменная;

L - краткое обозначение оператора, воздействующего на переменную Ф ,

например,

.

Начальные и граничные условия также можно кратко записать в виде:

I(Ф) = 0, S(Ф) = 0, (2.2)

где I - оператор, например, , либо функция;

S - оператор, например, , где n - нормаль к границе области, либо выражение.

1. Приближенное решение

Приближенное решение уравнения (2.1) представим в виде

, (2.3)

где - функция, выбираемая так, чтобы с определенной точностью выполнялись

начальные и граничные условия;

- подлежащие определению коэффициенты;

- система известных линейно независимых базисных

(пробных) функций, удовлетворяющих условию полноты,

то есть условию

при . (2.4)

Условие (2.4) гарантирует улучшение аппроксимации (2.3) при возрастании числа М используемых известных базисных функций.

2. Методы взвешенных невязок

Если приближенное решение (2.3) подставить в уравнения (2.1) и (2.2), то они не будут тождественно удовлетворяться. В результате появятся невязки:

, , . (2.5)

При построении приближенного решения (2.3) можно идти по одному из следующих путей:

• Решение (2.3) подбирается таким образом, что дифференциальное уравнение (2.1) удовлетворяется точно, то есть R = 0, но R_S  0. Такие численные методы называются граничными методами (методы граничных элементов, панельные методы).

• Граничные условия (2.2) выполняются точно, то есть R_S = 0, но R 0. Такие методы называются внутренними (методы конечных элементов, конечно-разностные методы).

• Уравнение (2.1) и граничные условия (2.2) удовлетворяются приближенно, то есть R 0, R_S  0. В этом случае имеют дело со смешанными методами.

В уравнении (2.3) базисные функции полагаются известными. В качестве их часто используются линейные или квадратичные функции, например,

,

где - некоторые постоянные, связанные с узлом m.

Коэффициенты или подлежат определению. Чтобы найти эти коэффициенты, полагается равным нулю интеграл:

, (2.6)

где - радиус-вектор точки;

- область и элемент области интегрирования;

- весовые функции.

Если в (2.6) положить m =1,2,…,M, то получится система из M уравнений для определения M неизвестных коэффициентов . Равенство (2.6) - это известное определение скалярного произведения двух функций. Если весовые функции образуют полную систему функций, то из (2.6) следует, что невязка R должна быть ортогональна каждому элементу этой системы функций. А это означает, что невязка R в среднем стремится к нулю (в пределе, когда ). В случае конечных значений M, чем больше M, тем меньше в среднем невязка R отличается от нуля.

Уравнение (2.6) отражает суть метода взвешенных невязок (МВН). Выбирая различные весовые функции , можно построить различные численные методы. Большинство современных численных методов решения уравнений (2.1), (2.2) являются частными случаями МВН. К этим частным случаям относятся широко применяемые в МЖГ методы конечных разностей (МКР) и методы конечных элементов (МКЭ). В литературе МВН иногда называют проекционно-разностными методами.