Погрешность аппроксимации, согласованность, устойчивость и сходимость конечно-разностных и конечно-элементных схем
На этапе дискретизации возникают вопросы, касающиеся влияния конечного временного шага и шага пространственной сетки. К ним относятся погрешность аппроксимации дифференциальных уравнений, согласованность, устойчивость и сходимость схем дискретизации.
Погрешность аппроксимации, как разность между точными решениями дифференциальных уравнений и системы алгебраических уравнений, достаточно просто находится при использовании ряда Тейлора. Например, при дискретизации уравнения
, (2.14)
используя разности вперед по времени t и центральные разности по координате x, получим:
, (2.15)
где
,
- переменная в точке i
или
соответственно на n-ом
и n+1-ом
временном шаге или в моменты времени
и (
).
Видно, что разностная схема (2.15) отличается от исходного уравнения (2.14) на погрешность аппроксимации первого порядка по времени и второго порядка по пространственной переменной.
Кроме погрешности аппроксимации, в численных методах имеют дело также с погрешностью округления. Под ней понимают разность между точным и действительным решениями системы алгебраических уравнений, аппроксимирующей исходную систему дифференциальных уравнений. Она обусловлена ограниченностью ресурсов ЭВМ. В реальных расчетах погрешность округления невозможно отделить от погрешности аппроксимации. С уменьшением погрешности аппроксимации погрешность округления, как правило, растет из-за увеличения количества алгебраических уравнений.
Разностная схема называется согласованной с дифференциальным уравнением, если система алгебраических уравнений, полученная в процессе дискретизации, согласуется с этим дифференциальным уравнением, то есть в пределе, когда размеры ячеек сетки стремятся к нулю, система алгебраических уравнений эквивалентна дифференциальному уравнению в каждом узле сетки. Условно это можно изобразить в виде схемы:
Под сходимостью разностной схемы (маршевой задачи или задачи, описывающей изменение переменной Ф в одном направлении, например, во времени) понимается стремление решения конечно-разностного аналога дифференциального уравнения к решению исходного дифференциального уравнения при измельчении сетки (для одинаковых начальных и граничных условий):
Разностная схема называется устойчивой, если на каждом шаге маршевой (эволюционной) переменной любая ошибка не возрастает при переходе от одного шага к другому.
Существует теорема Лакса об эквивалентности, справедливая для линейных дифуравнений в частных производных, в которой утверждается, что необходимым и достаточным условием сходимости разностной схемы является выполнение условий согласованности и устойчивости:
Для нелинейных задач, которые чаще встречаются на практике, теорему Лакса следует интерпретировать как теорему, обеспечивающую необходимые, но не всегда достаточные условия.
Ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе
Рассмотрим движение жидкости в цилиндрической трубе эллиптического сечения. Будем полагать режим движения жидкости ламинарным. В этом случае линии тока будут прямыми линиями, параллельными оси трубы. Подобная постановка задачи допускает точное решение уравнений Навье-Стокса, описывающих движение жидкости. Полученное точное решение будем в дальнейшем использовать в качестве теста для численного решения этого же течения жидкости.