1. Распределение скорости в поперечном сечении трубы

На рисунке 2.2 приведена схема течения и принятая система координат. В силу прямолинейности линий тока только одна компонента скорости w отлична от нуля. Поэтому система уравнений Навье-Стокса существенно упрощается и принимает вид:

; (2.16)

; (2.17)

; (2.18)

, (2.19)

где p, - соответственно плотность, давление и кинематическая вязкость.

Согласно уравнению неразрывности (2.19) компонента скорости w является функцией только координат x и y. В уравнениях движения (2.16) и (2.17) давление зависит только от координаты z. В этом случае распределение скорости в поперечных сечениях трубы одинаково, а давление изменяется только от сечения к сечению, оставаясь в данном сечении постоянным.

Решение системы (2.16) - (2.19) проведем аналогично /2/. Учитывая (2.16), (2.17) и (2.19), уравнение (2.18) приведем к виду:

, (2.20)

где  - динамическая вязкость.

Так как = (x,y), a p = p(z), то равенство (2.20) может быть выполнено только в случае, когда

и . (2.21)

Учитывая второе равенство в (2.21), введем обозначение

, (2.22)

где - постоянное вдоль оси трубы падение давления на произвольно выбранном участке длиной = (z₂-z₁).

В расчетах перепад давления на участке трубы длиной либо задается, либо выражается через другие величины, например, расход жидкости через трубу, среднюю или максимальную скорости.

С учетом (2.22) левое уравнение в (2.21) приводится к виду:

(2.23)

где - оператор Лапласа.

Уравнение (2.23) называется уравнением Пуассона. Для его однозначного решения необходимо задать на границе сечения Г условие Дирихле:

= 0 при (x , у) Г. (2.24)

Так как сечение трубы представляет собой эллипс с полуосями а и в:

, (2.25)

то решение уравнения (2.23), удовлетворяющее граничному условию (2.24), будет иметь вид:

. (2.26)

Постоянную А в равенстве (2.26) определим после его подстановки в (2.23):

.

В результате получим распределение скорости в сечении эллиптической трубы:

. (2.27)

Из (2.27) видно, что линиями постоянной скорости, или изотахами, будут подобные друг другу эллипсы.

Максимальная скорость на оси трубы равна:

. (2.28)

Подставив (2.28) в (2.27), перепишем распределение скорости в виде:

. (2.29)

2. Расход жидкости через поперечное сечение трубы

Для удобства вычисления объемного расхода жидкости Q отобразим эллипс на единичный круг с помощью формул:

x=a·x', y=в·y', r'²=x'²+y'².

Подставим эти значения в объёмный интеграл

. (2.30)

Подставив в (2.30) значение из (2.28), найдем связь между объемным расходом и падением давления вдоль трубы:

(2.31)

Учитывая, что площадь эллипса равна , определим среднюю скорость движения жидкости:

(2.32)

Из полученных формул можно получить, как частный случай, основные формулы ламинарного движения вязкой несжимаемой жидкости через цилиндрическую трубу круглого сечения. Для этого, обозначив х²+у² = r², а = в = R и подставив эти выражения в (2.29), получим распределение скорости в трубе круглого сечения:

, (2.33)

где r - радиус произвольной точки;

R - радиус трубы.